Exercices d'équations du second degré

Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur  :

a – f ( x ) = 2x² - 7x + 9

b – f ( x ) = 3x² - 4x - 5

c – f ( x ) = 3 - 4x

d – f ( x ) = 14 x ² +4 x +3

Exercice 2 : Déterminez l’équation de la tangente à la courbe (C) représentant la fonction f au point A d’abscisse xA dans les cas suivants :

a – f ( x ) = x² + 3x - 12 xA = 5

b – f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1

Exercice 3 : Dressez le tableau des variations de la fonction suivante :

f ( x ) = 2x² - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ]

Exercice 4 : Le coût total de production d’un article varie en fonctions du nombre d’objets x fabriqués suivant la formule : C ( x ) = x² - 24 x + 225 .

1° - Calculez : C ( 1 ) ; C ( 10 ) ; C ( 15 ) ; C ( 20 ) ; C ( 25 ).

2° - Etudiez et représentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1 ; 25 ] . Quelle est la nature de la courbe obtenue ?

3° - Les articles sont vendus 16 € pièce. On désigne par V (x ) le montant correspondant à la vente de x articles. Exprimer V (x ) en fonction de x. Représenter graphiquement V (x ).

4° - Exprimez le résultat bénéficiaire B ( x ) en fonction de x (On rappelle que le bénéfice B est obtenu en soustrayant le coût de fabrication C à la recette V).Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il maximum ? Calculez-le.

Exercice 5 : L’entreprise DANDOSAURE fabrique des appareils à cire. Le nombre d’appareils fabriqués par jour est n. Le coût de fabrication, en euros, de ces n appareils est donné par la relation :

C (n ) = n²+ 160n +800 avec 5≤ n ≤ 60

1° - Quel est le coût de fabrication de 50 appareils ?

2° - Le bénéfice B réalisé pour la vente de n appareils est donné par B(n) =- n²+90 n - 800

a – Sachant que le bénéfice B est obtenu en soustrayant le coût de fabrication C à la recette R, retrouver la recette obtenue pour la vente d’un appareil à cire.

b – Pour connaître le bénéfice maximum :

- Calculer B’(x) où B’ est la dérivée de la fonction B définie par :

B(x) = - x ²+ 90 x - 800 sur I = [5 ; 60]

- Calculer la valeur nm qui annule B’(x).

- Dressez le tableau de variations de la fonction B(x).

- Tracer la courbe représentant le bénéfice B dans l’intervalle [5 ; 60].

- Calculer la valeur de B correspondante et placer dans le repère le point de coordonnées (nm ; B (nm ) ).

- Préciser le nombre d’appareils à fabriquer pour obtenir le bénéfice maximum. Quel est ce bénéfice maximum ?

Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur  :

a – f ‘( x ) = 4x - 7

b – f ‘( x ) = 6x - 4

c – f ‘( x ) = - 4

d – f’ ( x ) = 12 x +4

Exercice 2 : Déterminez l’équation de la tangente à la courbe ( C )représentant la fonction f au point A d’abscisse xA dans les cas suivants :

a – f ( x ) = x² + 3x - 12 xA = 5

 Calculons f ( 5 ) = 5² + 3x5 - 12 = 25 + 15 – 12 = 28

 Calculons la dérivée : f’ ( x ) = 2x + 3 soit : f’( 5 ) = 2x5 + 3 = 13

 Équation de la tangente : y = ax + b soit y = 13x + b soit 28 = 13 x 5 + b

Alors : b = 28 – 65 = -37 ; L’équation de la tangente est : y = 13x - 37

b

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