Physique chimie électromagnétisme

À l’instar du champ électrostatique, le champ magnétostatique obéit à des relations mathématiques locales qui renseignent sur sa structure et son lien aux courants. Nous verrons dans ce chapitre que, de la même manière qu’il existe un potentiel électrostatique, il existe également un potentiel (vectoriel) dont dérive le champ magnétique. Cette nou- velle grandeur jouera un rôle important dans l’étude du phénomène d’induction.

11.1 Théorème d’Ampère

Loi de Biot et Savart

Considérons un conducteur C parcouru par un courant électrique d’in- tensité 𝐼. Comme on l’a déjà vu, le transport d’électricité est quantifié

→−

par le vecteur densité de courant volumique 𝑗 dont le flux à travers une section de C donne 𝐼 :

11

11.1 Théorème d’Ampère . . .

LoideBiotetSavart . . . . Théorème d’Ampère . . . Eq. de Maxwell-Ampère .

En régime stationnaire, toutes les grandeurs électriques sont indépen-

59

dantes du temps . En conséquence, les porteurs de charge ne peuvent

→−

s’accumuler, mais simplement transiter : le flux de 𝑗 à travers n’im- porte quelle surface fermée est nécessairement nul ce qui se traduit mathématiquement par la relation60

div 𝑗 = 0 (11.2)

Comme Œrsted l’a montré le premier en 1820, un circuit parcouru par un courant électrique permanent est responsable de l’apparition d’un champ magnétique. Biot et Savart en ont donné une formulation pour un circuit filiforme :

(11.3)

Si l’on ne peut pas négliger l’épaisseur des fils, il faut considérer que le courant est distribué en volume. Prenons une portion de longueur dl et isolons un tube de courant de section infinitésimale d𝑆. Ce tube

59. Par exemple, la densité des porteurs de charge ou la densité volumique de courant ne dépendent que de l’espace.

60. Voir la relation de continuité au Cha- pitre 13.

M

•

d𝐵

→−

∮ ∮ −→→− →− 𝜇 0 𝐼 d l ∧ 𝑢

𝐵 =

d𝐵 = 4𝜋 𝑟2 CC

→− →−

. 127 .127 128 130 .131 Eq.deMaxwell-Thomson .131

11.2Fluxduchamp . . . . . . .

Champ à flux conservatif . 11.3 Potentiel vecteur . . . . . . Définition .......... Équation de Poisson . . .

132

133

133

134

Sonexpression....... 134

Méthodes de calcul . . . . 11.4 Relations de passage ... Courants surfaciques . . . Composante normale . . . Composante tangentielle . Lesolénoïdeinfini..... 11.5Résumé............

FIGURE 11.1 – Flux électrique.

135 . 137 . 137 . 137

138 139 140

∫∫ →− →−

𝑗·𝑛d𝑆 = 𝐼

S

[A.m−2] × [m2] [A]

(11.1)

P • −→ 𝐼 dl

circuit

S

FIGURE 11.2 – Notations associées à la loi de Biot et Savart.

•

→−

𝑗

→−

𝑛

𝑟

−→

→−

𝑢

conducteur électrique

128 11 PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE

−→

dl

→−

Ainsi, en décomposant une distribution volumique en une superpo-

−→ →−

sition de distributions filiformes d’élément de courant d𝐶 = 𝑗 d𝜏, on obtient une nouvelle formulation :

−→ transporte un courant d’intensité d𝐼 = 𝑗 · 𝑛 d𝑆. La quantité d𝐼 dl,

parfois appelé élément de courant, s’écrit

→−

FIGURE 11.3 – Tube de courant élémen- taire dans lequel on isole une portion conductrice de volume d𝜏 = d𝑆dl.

𝑧

𝐼

𝑟 𝜃

Remarque : l’intégrale (11.5) ne pose pas de problème de convergence pour les distributions réalistes, c’est-à-dire volumiques et finies. Toutefois, dans certaines situations idéalisées (distribution filiforme ou surfacique) l’intégrale n’est pas définie pour tout point situé sur la distribution.

Théorème d’Ampère

La loi de Biot et Savart relie le courant électrique au champ magnétique

−→

via un intermédiaire de calcul (d𝐵) que l’on somme le long du circuit électrique. Le théorème d’Ampère est une autre manière d’exprimer ce lien en faisant intervenir la circulation du champ magnétique.

Pour illustrer cette propriété, considérons un conducteur rectiligne infini parcouru par un courant permanent d’intensité 𝐼. Comme on l’a vu au Chapitre 6, il règne autour d’un tel conducteur un champ magnétique orthoradial dont l’intensité décroît proportionnellement à l’inverse de la distance au fil électrique. Formellement on a en coor- données cylindriques

𝐵(𝑟,𝜃,𝑧) =

lorsque

...