Raisonner, s'exprimer, chercher

Livret 1 - Séquence 1

Raisonner, s’exprimer, chercher

Sommaire        

I.        Soigner son langage, sa rédaction, son raisonnement : des exercices . . . . . . . . . . . . .        2

II.        Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        3

III.        PCQCI (Pour ceux que ça intéresse), PAPL (Pour Aller Plus Loin) : quelques éléments

de logique . . . . . . . . .  . . .  . .  . . .  . . .  . . .  . .  . . .  . . .  . . .  . .  . . .  . . .  . .  . . .  .        5

IV.        S’exprimer, rédiger, présenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        6

1. Où l’on donne quelques grands principes de la rédaction mathématique        6
2. Où l’on précise quelques-uns de ces principes        6

1. Chercher, premiers réflexes face à un problème à résoudre        10

1. Comprendre la question posée, comprendre le problème        10
2. Attaquer la question        10

1. Validation du plan d’attaque : la démonstration        10

1. Faire en sorte de retenir quelque chose de l’exercice traité        10

1. Annexe : les niveaux (couches) d’assimilation (de digestion) du cours de mathématiques        11
2. Corrigés disponibles        12[pic 1]

I.        Soigner son langage, sa rédaction, son raisonnement : des exercices

Exercice 1.1. Vrai ou Faux ? (Avec justifications, cela va de soi...). 1) 8x 2 R, x2+x+1 > 0. 2) 9x 2 R, x2—3x—1 > 0.[pic 2][pic 3]

3) La fonction R

p 

! R,x 7! x2 — 1

est positive. 4) La fonction R

x        ex

! R,x 7! x2 +1 [pic 4]

est dérivable sur R. 5) Pour tout

x de R,        x2 = x. 6) Pour tout (a, b) 2 R2 tel que ab > 0, on a ln (ab) = ln (a)+ ln (b). 7) Soient f et g des fonctions

de R dans R. a) On a f 6 g ou f > g. b) Pour tout x 2 R, f (x) 6 g (x) ou f (x) > g (x).

Exercice 1.2. Deux équations fonctionnelles.[pic 5]

!Ex  1.1

1. Déterminez toutes les fonctions f de R dans R telles que pour tout (x, y) 2 R2  on ait f (xy) = f (x)+ f (y) . On effectuera une démonstration par Analyse / Synthèse -que l’on peut aussi nommer démonstration par condition nécessaire (CN) / condition suffisante (CS)- :

On prend f : R ! R.

I Analyse (CN) : si f est solution, alors.... on va essayer de déduire le maximum d’informations sur f pour préciser le plus possible qui peut être f (... jusqu’à ce que l’on soit satisfait -à savoir que l’on peut attaquer la deuxième partie de la démonstration) : on aboutit à une condition C sur f (une description de f, en général on souhaite la forme générale de f) qui est une condition nécessaire au fait que f soit solution.

I Synthèse (CS) : réciproquement, si f est une fonction vérifiant la condition C trouvée dans la première partie, alors... on montre que f est solution : ceci prouve que la condition C sur f est une condition suffisante au fait que f soit solution .

On conclut.

1. Déterminez les fonctions f : R ! R telles que : 8 (x, y) 2 R2,f (xy) = f (x)+ f (y)+ x.

Exercice 1.3. Vrai ou Faux ? Soit P l’ensemble des points d’un plan et D l’ensemble des droites de ce plan. Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1) Pour tout M 2 P  il existe D 2 D tel que M  2 D. 2) Il existe D 2 D tel que pour tout M 2 P  on a M 2 D. 3) 9M 2 P, 8D 2 D,M 2 D. 4) 8D 2 D, 9M 2 P,M 2 D.[pic 6]

...