Programmes de Mathématiques en MPSI-2

Cours de Mathematiques

MPSI-2 Lycee Fermat

Alain Soyeur

Table des matieres

1 Raisonnement, ensembles 7

1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Relation d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Les nombres complexes 21

2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Rappels de trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Exponentielle imaginaire et applications en trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Racines d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Extraction de racine carree par resolution algebrique (a eviter) . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Extraction de racine carree par resolution trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.3 Equation du second degre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.4 Racines niemes de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.5 Racines niemes d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Fonctions usuelles 30

3.1 Theoremes d'analyse admis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Calcul pratique de derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Derivee d'une homographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Derivee d'un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Derivee logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Exponentielle en facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Regle de la cha^ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Exponentielles, logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Logarithme neperien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Exponentielle de base a : ax = ex ln a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Logarithme de base a : loga(x) =

ln x

ln a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Fonctions puissance x = e ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Etude des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.4 Fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.5 Fonctions hyperboliques reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Fonction argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Fonction argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.6 Etude d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.7 Fonction exponentielle complexe . .

...