Opérations sur les séries entières

En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme

\sum_{n \geqslant 0} a_nz^n

où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. La série est dite entière du fait qu'elle fait intervenir des puissances entières.

Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide d'une grandeur associée à la série, son rayon de convergence R. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.

Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d'un de leurs points c comme somme d'une série entière de la variable z-c : celle-ci est alors leur série de Taylor. On parle dans ce cas de fonctions développables en série entière au point c. Lorsqu'une fonction est développable en série entière en chacun de ses points, elle est dite analytique.

Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonction génératrice et se généralisent dans la notion de série formelle. Dans la théorie des nombres, le concept de nombre p-adique est proche de celui de série entière.

Sommaire

1 Définitions

1.1 Série entière

1.2 Rayon de convergence

1.2.1 Calcul du rayon de convergence

1.3 Fonction somme

1.4 Exemples

2 Opérations sur les séries entières

2.1 Somme et produit

2.2 Substitution

2.3 Dérivation

3 Fonction développable en série entière

3.1 Au sujet de l'existence et de l'unicité du développement

3.2 Développements usuels en séries entières

3.3 Fonctions analytiques

4 Comportement au bord du domaine de convergence

4.1 Théorème de convergence uniforme d'Abel

4.2 Points singuliers et réguliers

4.3 Le théorème des lacunes

5 Voir aussi

5.1 Rubriques connexes

5.2 Bibliographie

Définitions

Dans ce qui suit, la variable z est réelle ou complexe.

Série entière

Une série entière de variable \scriptstyle z, est une série de terme général \scriptstyle a_n\,z^n, où n est un entier naturel, et \scriptstyle{(a_n)}_{n\in\N} est une suite de nombres réels ou complexes. L'usage veut que l'on adopte la notation \scriptstyle\sum a_nz^n ou \scriptstyle\sum_{n \geqslant 0} a_nz^n pour parler d'une série entière, tandis que l'on écrira \scriptstyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n pour son éventuelle somme, en cas de convergence, pour un z donné.

Rayon de convergence

Article détaillé : Rayon de convergence.

Une bonne partie des propriétés de convergence de la série peut être exprimée à l'aide de la quantité suivante, appelée rayon de convergence de la série

R = \sup\left\{|z|, z\in \mathbb{C}, \sum a_n z^n \text{ converge }\right\}\in\, \R^+\cup\{+\infty\}.

Ces propriétés se fondent sur le lemme suivant, dû à Abel, mais qu'il ne faut pas confondre avec le théorème d'Abel, lequel est utilisé pour démontrer la continuité de la somme de la série à la frontière du disque de convergence.

Lemme d'Abel — Soit un réel r_0>0~. Si la suite de terme général |a_n| r_0^n est bornée, alors la série \underset{n \geqslant 0}{\sum} a_n\, z^n converge absolument pour |z| < r_0~.

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Démonstration

Dès lors, il est possible de préciser le mode de convergence de cette série de fonctions

La série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de centre 0 et de rayon R qui est appelé disque ouvert de convergence.

La série diverge grossièrement (c'est-à-dire que le terme général ne converge pas vers 0) pour tout complexe z de module strictement supérieur au rayon.

Dans le cas où la variable x est réelle, on parle encore de disque ouvert de convergence, bien que cela désigne un intervalle de la droite réelle (]–R, R[).

Lorsque le rayon est infini, le disque ouvert de convergence est l'ensemble du plan complexe (ou de la droite réelle). En revanche il n'y a a priori convergence normale que sur les disques fermés de rayon fini. Un rayon nul signifie qu'il y a divergence en tout point autre que z = 0, comme c'est le cas par exemple pour la série \underset{n\geqslant 0}{\sum} {n!\,z^n}.

Ces propriétés ne règlent pas toutes les questions de convergence. Notamment, aux points de module R, il peut y avoir convergence ou non, et convergence avec ou sans convergence absolue. Par exemple, les séries entières \sum \frac{1}{n^2}\,z^n, \sum \frac{1}{n}\,z^n et \sum z^n ont pour rayon de convergence 1, la série entière \sum \frac{1}{n^2}\,z^n converge absolument en tout point de module 1 alors que \sum \frac{1}{n}\,z^n ne converge absolument en aucun point de module 1 mais converge en tout point autre que 1 et la série entière \sum z^n ne converge en aucun point de module 1.

Calcul du rayon de convergence

La formule de Cauchy-Hadamard donne l'expression du rayon de convergence en termes de limite supérieure :

\frac1R = \limsup_{n\to\infty} \left(|a_n|^{1/n}\right).

Cette

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