Mathématiques pour l’informatique

BTS SIO

Devoir n°1

A rendre mardi 6 décembre 2022

Partie I : Mathématiques pour l’informatique

Exercice 1 :

Dans le référentiel Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, on considère les sous-ensembles :

A = {0, 1, 2, 3, 4} ; B = {0, 2, 5, 8} ; C = {3, 6, 9}, D = {1, 3}.

Déterminer les ensembles (diagrammes inutiles):

𝐴 𝖴 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐵 ∩ 𝐶, (𝐴 𝖴 𝐵) ∩ 𝐶, 𝐴 𝖴 (𝐵 ∩ 𝐶), 𝐴̅, 𝐵̅, 𝐴̅ 𝖴 𝐵̅

𝐴 𝖴 𝐵= {0,1,2,3,4,5,8}

𝐴 ∩ 𝐵= {0,2}

𝐵 ∩ 𝐶= ∅

(𝐴 𝖴 𝐵) ∩ 𝐶={3}

 𝐴 𝖴 (𝐵 ∩ 𝐶)= {0,1,2,3,4}

 𝐴̅ ={5,6,7,8,9}

 𝐵̅  ={1,3,4,6,7,9}

 𝐴̅ 𝖴 𝐵̅  ={1,3,4,5,6,7,8,9}

Exercice 2 :

Soient les ensembles A = {a; b}, B = {2; 3} et C = {3; 4}. De´terminer :

𝐴 ∩ 𝐶                   =                       ∅

A 𝖴 𝐶      = {a,b,3,4}

(A × B) 𝖴 (𝐴 × 𝐶) ={a2,a3,a4,b2,b3,b4}

 (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶) = {a3,b3}

Exercice 3 :  

On définit l’application f dont l’ensemble de départ est IN (ensemble des nombres entiers positifs) et

l’ensemble d’arrivée est F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

A tout nombre entier n, elle associe son chiffre des unités (ex. : à 25, elle associe 5, ou encore, à 127, elle associe 7).

Cette application est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ? Justifier.

  Une application est injective si et seulement si chaque élément d’un ensemble à une image distincte.

  Dans cet exercice l’ensemble IN a un nombre infini d’éléments alors que l’ensemble d’arrivée F n’a  

  que 10 éléments. On comprend que chaque élément de IN ne peut avoir une image distincte.

  Par l’exemple : dans l’ensemble IN, 11 et 21 ont la même image 1.

  Donc cette application n’est pas injective.  

Une application est surjective si tous les éléments de l’ensemble d’arrivé ont au moins un antécédent.

Dans cet exercice chaque élément de F a un antécédant.

Exemple des antécédents de F  {…,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,….}

Donc cette application est surjective.

Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Celle-ci n’est pas injective donc elle n’est pas bijective.

Exercice 4 :

Soient E et F deux ensembles.

Soit A = {a; b; c} , B = {c; d} , H = {1; 3} , I = {2; 5} , J = {4}.

1. - Soit f une application de E dans F définie par le diagramme ci-dessous :

[pic 1]

1. Déterminer f(A), f(B), ainsi que f -1 (H), f -1 (I) et f -1 (J).

f(A)={1,2,3}

f(B)={3,5}

f -1 (H) ={b,c}

f -1 (I) = {a,d}

 f -1 (J) = (j) n’a pas d’antécédant.

1. f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? Justifier.

Chaque élément de E à une image distincte donc f est injective.

Les éléments de F n’ont pas tous un d’antécédant : (4) n’a pas d’antécédant. Donc f n’est pas surjective.

f n’est pas surjective donc elle n’est pas bijective.

1. - Soit g une application de F dans E définie par le diagramme ci-dessous :

[pic 2]

1. Déterminer g (H), g (I) et g (J), ainsi que g -1 (A) et gt -1 (B) .

g(H) ={a,c}

g(I) ={b,d}

g(J) ={b}

1. g est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? Justifier.

4 et 2 n’ont pas d’image distincte donc g n’est pas injective.

 Les éléments de E ont tous un antécédent donc g est surjective.

G n’est pas injective donc elle n’est pas bijective

Exercice 5 :

Soient les expressions booléennes :

𝐴 = 𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐

𝐵 = 𝑎̅  𝑏+𝑐̅

𝐶 =  𝑎̅  (𝑏 + 𝑐)

Pour les valeurs de a, b et c données, calculer les valeurs de A, B et C dans les cas suivants :

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