Mathématiques, géométrie

Soient A , B et C trois points non alignés. On appelle I le milieu du segment [AB] .

On considère le repère (A ; AB→ ; AC→) .

1. Déterminer une équation de la médiane du triangle ABC issue du sommet C .

2. Calculer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC .

Indications : Le centre de gravité G d’un triangle ABC est l’isobarycentre des points A , B , C . Les coordonnées de G sont ( xA + xB + xC 3 ; yA + yB + yC 3 ) .

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1ère S | Cours : Droites, vecteur directeur, équation cartésienne et équation réduite

1.

Sachant que I est le milieu du côté [AB] , la médiane du triangle ABC issue du sommet C est la droite (CI) .

Une équation de la droite (CI) est de la forme : y = ax + b

On peut déterminer les coordonnées des points du plan dans le repère (A ; AB→ ; AC→) :

• A étant l’origine, on a A (0 ; 0)

• AB→ représente le vecteur unitaire des abscisses, donc B (1 ; 0)

• AC→ représente le vecteur unitaire des ordonnées, donc C (0 ; 1)

• I est le milieu de [AB] , donc I ( 1 2 ; 0)

La droite (CI) passant par les points C et I , on peut calculer le coefficient directeur a de (CI) grâce aux coordonnées de ces points :

a = yI − yC xI − xC = 0 − 1 1 2 − 0 = − 2

Une équation de la droite (CI) est donc : y = − 2x + b

On sait que si un point appartient à une droite, ses coordonnées vérifient alors l’équation de cette droite. On peut donc enfin déterminer la valeur de l’ordonnée à l’origine b de la droite (CI) en remplaçant par exemple les coordonnées du point C dans l’équation de (CI) , puisque le point C appartient à la droite :

1 = − 2 x 0 + b

On en déduit : b = 1

Finalement, une équation de la droite (CI) , médiane du triangle ABC issue du sommet C , est : y = − 2x + 1

2.

On sait que le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes, et aussi l’isobarycentre de ses sommets.

On en déduit que les coordonnées du point G sont :

• xG= xA + xB + xC 3 = 0 + 1 + 0 3 = 1 3

• yG= yA + yB + yC 3 = 0 + 0 + 1 3 = 1 3

Les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont donc : G ( 1 3 ; 1 3 )

» Il existe trois types de repères dans le

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