Mathématiques Gauss

Soit M une variété riemannienne à deux dimensions compacte (sans bord) ; alors l'intégrale de la courbure de Gauss permet de retrouver la caractéristique d'Euler de la surface

Pour une variété compacte à bord, la formule devient

en notant la courbure géodésique aux points du bord .

Si le bord est seulement régulier par morceaux, la formule reste vraie, en prenant au lieu de l'intégrale la somme des intégrales correspondantes sur les portions régulières du bord, plus la somme des angles formés aux points anguleux.

Interprétation et signification[modifier]

D'après le théorème, la courbure de Gauss totale d'une surface fermée est égale à 2π fois la caractéristique d'Euler de la surface. Notons que pour une surface compacte orientable sans bord, la caractéristique d'Euler égale , où est le genre de la surface : une surface compacte orientable sans bord est topologiquement équivalente à une sphère avec des anses attachées, et compte le nombre d'anses.

Si on déforme la surface , sa caractéristique d'Euler, qui est un invariant topologique, ne change pas, tandis que la courbure en certains points change. Le théorème établit, résultat un peu surprenant, que l'intégrale de toutes les courbures ne change pas quelle que soit la déformation. Par exemple si on a une sphère avec une « bosse », alors sa courbure totale est 4π (la caractéristique d'Euler d'une sphère vaut 2), que l'on accroisse ou diminue la bosse.

La compacité de la surface est essentielle. Si on considère par exemple le disque unité ouvert, une surface de Riemann non compacte et sans bord, la courbure vaut 0 et la caractéristique d'Euler 1 : la formule de Gauss–Bonnet ne fonctionne pas. Elle devient vraie cependant pour le disque unité fermé et compact, qui a une caractéristique d'Euler égale à 1, à cause de l'intégrale sur la frontière qui vaut 2π.

Autre application, le tore a une caractéristique d'Euler égale à 0, donc sa courbure totale doit être nulle. Si le tore est muni de la métrique riemannienne ordinaire induite par son plongement dans ℝ3, alors l'intérieur a une courbure de Gauss négative, l'extérieur a une courbure de Gauss positive, et la courbure totale est en effet égale à 0. Il est possible de construire un tore en identifiant les côtés opposés d'un carré ; dans ce cas la métrique riemannienne du tores est plate et a une courbure constante nulle, d'où il résulte une courbure totale nulle. Il n'est pas possible de définir une métrique riemannienne sur le tore avec une courbure de Gauss en tout point positive ou négative.

Le théorème a des conséquences intéressantes pour les triangles. Soit M is une variété riemannienne de dimension 2 (non nécessairement compacte), et soit un triangle sur M formé par trois géodésiques. Alors nous pouvons appliquer le théorème de Gauss–Bonnet à la surface T formée par l'intérieur de ce triangle et la frontière de ce triangle. La courbure géodésique des géodésiques est nulle, et la caractéristique d'Euler de T est 1, le théorème indique que la somme des angles extérieurs du triangle géodésique est égal à 2π moins la courbure

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