Les suites arithmétiques

Suites arithmétiques

1. Définitions générales

Définition : Une suite u est dite arithmétique s’il existe un réel   tel que pour tout  :[pic 1][pic 2]

  [pic 3]

Le réel  est appelé la raison de la suite [pic 4][pic 5]

Une suite peut être définie de deux manières :

• Par récurrence : [pic 6]
• Explicitement : [pic 7]

Remarque : Si on ne connait pas le premier terme  mais un des termes de la suite () ainsi que l raison , on peut généraliser la formule :[pic 8][pic 9][pic 10]

Soit , on a : [pic 11][pic 12]

Méthode :

Pour prouver qu’une suite () est arithmétique, on calcule [pic 13][pic 14]

Si  avec une constante  , alors la suite est arithmétique et  est la raison de la suite [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

1. Sens de variations

Une suite  est dite croissante si et seulement si  > 0, c’est-à-dire que les termes de la suite deviennent de plus en plus grands [pic 19][pic 20]

Une suite  est dite constante si et seulement si  = 0, c’est-à-dire que les termes de la suite sont tous égaux[pic 21][pic 22]

Une suite  est dite décroissante si et seulement si  < 0, c’est-à-dire que les termes de la suite sont de plus en plus petits [pic 23][pic 24]

Méthode :

Pour déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique sans connaitre sa formule explicite, on calcule  [pic 25]

Si 0, alors  est croissante [pic 26][pic 27]

Si 0, alors  est constante [pic 28][pic 29]

Si 0, alors  est décroissante [pic 30][pic 31]

Remarques :  

• Si une suite  est définie de manière explicite telle que ,  . Alors les variations de  suivent celles de [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
• Si une suite  est définie per récurrence telle que , , les variations de  ne sont pas forcément les mêmes que celles de . [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Dans ce cas, pour déterminer les variations de la suite , on peut étudier la différence de  (voir ci-dessus) [pic 42][pic 43]

1. Somme d’une suite

Pour calculer la somme des n premiers termes :  

[pic 44]

Si  est une suite arithmétique alors, la somme S de termes consécutifs vaut :[pic 45]

[pic 46]

Soit, si la suite commence par le terme  : [pic 47]

[pic 48]

 Et si la suite commence par [pic 49]

[pic 50]

...