Correction D2 maths BTS SIO
TD : Correction D2 maths BTS SIO. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar moviestar77 • 20 Décembre 2020 • TD • 1 897 Mots (8 Pages) • 521 Vues
BTS Service Informatiques aux Organisations
Mathématiques
Première année
Devoir 2
Exercice 1 (Suites, convergence, arithmétiques et géométriques) (13 points)
Partie A (6,5 points)
- Compléter ce tableau. (0,25 point + 0,25 point )
mois n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Un arrondi à10-3 près. | 5 | 8,750 | 11,563 | 13,672 | 15,254 |
nombre de disques durs produits le mois n arrondi à l’unité | 5000 | 8750 | 11563 | 13672 | 15254 |
y
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
x
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cf
Soit f la fonction définie sur [1;+∙[ par f (x) = 20 − 20 × 0,75x dont voici la représentation graphique :a. (0,25 point) U8 ♠ 18.
b. (0,25 point) Il a donc eu 18 000 disques durs fabriqués le huitième mois.
- (1 point)
Pour tout entier naturel n tel que n ≥ 1 on a
Un+1 −Un
= 20 − 20 ∞ 0, 75n+1 − (20 − 20 ∞ 0, 75n )
= 20 − 20 ∞ 0, 75n+1 − 20 + 20 ∞ 0, 75n
= 20 ∞ (−0, 75n+1 + 0, 75n )
= 20 ∞ 0, 75n ∞ (−0, 75 +1)
= 20 ∞ 0, 75n ∞ 0, 25
= 5 ∞ 0, 75n qui est positif.
Donc la suite de terme général Un est croissante.
- (1 point)
Graphiquement, on conjecture que cette suite est majorée par 20. Prouvons-le en étudiant le signe de 20-Un
20 −Un
= 20 − (20 − 20 ∞ 0, 75n )
= 20 − 20 + 20 ∞ 0, 75n
= 20 ∞ 0, 75n qui est strictement positif
Ainsi 20 −Un >0 s’écrit encore 20 > Un ce qui signifie que la suite de terme général Un est majorée par 20.
- (1 point)
La suite de terme général Un est croissante et elle est majorée donc elle converge. (Théorème p166)
y
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
x
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cf
a. (0,5 point) Graphiquement, l’inéquation f(x)>19 a pour ensemble de solutions : ]10,4 ; + ∙ [ donc dès le 11e mois de production cette entreprise fabriquera plus de 19000 disques durs par mois.
b. (1 point) Résolvons algébriquement l’inéquation : Un>19
20 − 20 ∞ 0, 75n > 19
20 −19 > 20 ∞ 0, 75n
1 > 20 ∞ 0, 75n
1 > 0, 75n
...