Volume et surface de parallélépipède

Volume et surface de parallélépipède

1. Surface d’un cube :

Un cube a six faces carrées d’aire a2 chacune (avec a longueur des arêtes du cube). L’aire totale est donc égale à S = 6a2.

1. Volume et aire d’un pavé droit ou parallélépipède rectangle :

Le volume d’un pavé droit est égal au produit de ses trois dimensions (longueur, largeur et hauteur)[pic 1]

V = L∙l∙h (L longueur, l largeur et h hauteur)

Ou bien V = abc en appelant a, b et c les longueurs des arêtes

L’aire totale d’un pavé droit est égale à la somme des aires de ses six faces qui se regroupent en trois paires de faces opposées de même aire. D’où

S = 2Ll + 2Lh + 2lh = 2(Ll + Lh + lh)

Ou avec l’autre notation : S = 2(ab + bc + ac)

1. Volume d’un parallélépipède non rectangle (un prisme à base rectangulaire) :

1. Principe de Cavalieri : Regarder la vidéo sur youtube :

https://www.youtube.com/watch?v=WGD_JJY2pF8

En somme le volume reste égal à V = L∙l∙h, mais cette fois h n’est plus la longueur d’une arête, mais la hauteur du pavé droit (la distance entre les plans des bases rectangulaires)

1. L’aire d’un tel solide nécessite des données supplémentaires. Pas de problème pour les deux bases rectangulaires. Mais les autres faces sont des parallélogrammes dont le calcul des aires nécessite la connaissance des angles pour avoir leur hauteur (à distinguer de la hauteur du parallélépipède).

1. Exercice :

Une cuve parallélépipédique contient 1500 hl d’eau. La hauteur d’eau est de 2,5 m.  La longueur de sa base (rectangulaire) a 4 m de plus que sa largeur. Calculer cette longueur et cette largeur.

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