Sujet De Mathématiques

Partie A sujet 2

1.

On considère la fonction g définie sur par : .

a) Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.

Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet sur une unique solution notée .

b) Démontrer que .

2.

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, . On désigne par la courbe d'équation dans un repère orthonormal . Cette courbe est donnée ci-dessous.

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a) En utilisant la courbe , construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.

b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un un+1 3.

c) Démontrer que la suite (un) converge vers α.

Partie B

On considère la fonction f définie sur par : .

On désigne par la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal . Cette courbe est donnée partie A.

1.

Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, on pose :

.

a) Démontrer que la fonction F est croissante sur .

b) Montrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout réel x appartenant à , .

c) Démontrer que sur , l'équation est équivalente à l'équation .

...