Sommes d’inverses et constante d’Euler-Mascheroni

Pépinière académique de mathématiques Année 2021-2022                Stage « filé » Classe terminale        Fiche numéro 3[pic 1]

Parution lundi 17 janvier        Retour attendu pour le mercredi 2 février

Exercice 1 Sommes d’inverses et constante d’Euler-Mascheroni

Rappels :

• pour comparer deux nombres, on étudie le signe de la différence ;
• pour déterminer le signe d’une fonction, on peut étudier ses variations et chercher les valeurs où elle s’annule ;
• on peut additionner membre à membre des inégalités de même sens.

En algèbre, on étudie des suites définies par 𝑆𝑛 = ∑𝑘=𝑛[pic 2]

𝑡𝑘, où (𝑡𝑛) est une suite de réels. Ces suites (𝑆𝑛) sont

appelées séries et certaines sont très connues. La fiche 1 faisait étudier une série convergeant vers le nombre e. Cet exercice fait étudier deux autres séries très classiques.

On considère les deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) définies par :

Pour tout entier 𝑛 ≥ 1, 𝑢

= 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1

[pic 3]        [pic 4]

= ∑𝑘=𝑛 1  et

[pic 5]

1        1        1

[pic 6]        [pic 7]        [pic 8]

∑𝑘=𝑛 1.

[pic 9]

𝑛        22        32

[pic 10]

𝑛2

𝑘=1 𝑘2

𝑣𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =

𝑘=1 𝑘

1. a. Étudier le sens de variation de la suite (𝑢𝑛).

1        1

1. Comparer, pour tout entier 𝑘 > 1, les nombres 𝑘2 et[pic 11]
2. Montrer que la suite (𝑢𝑛) converge.

. En déduire une majoration du nombre 𝑢 .

𝑘(𝑘−1)[pic 12][pic 13]

On démontre en fait que la limite de la suite (𝑢𝑛

) est π2.

6[pic 14]

𝑥

1. a.  Montrer que pour tout réel 𝑥 ≥ 0,[pic 15]

𝑥+1

≤ ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥.

1. En déduire que, pour tout entier 𝑘 ≥ 1, un encadrement de ln(𝑘 + 1) − ln 𝑘.
2. Montrer que, pour tout entier 𝑛 ≥ 1, ln(𝑛 + 1) ≤ 𝑣𝑛 ≤ 1 + ln 𝑛. En déduire la limite de la suite (𝑣𝑛).

1. Soit (𝑤𝑛) la suite définie par, pour tout entier 𝑛 ≥ 2, 𝑤𝑛 = 𝑣𝑛−1 − ln 𝑛.

1. Déterminer le sens de variation de la suite (𝑤𝑛).
2. Montrer que la suite (𝑤𝑛) converge.

On appelle constante d’Euler-Mascheroni la limite 𝛾 de la suite (𝑤𝑛).

Exercice 2 Comparaison de moyennes

On montre que pour tout entier 𝑛 tel que 𝑛 ≥ 1, la fonction 𝑓 définie sur R+ par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 est dérivable (donc

continue) sur R+ et strictement croissante sur R+. Comme de plus 𝑓(0) = 0 et lim

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞, le cas particulier

du théorème des valeurs intermédiaires permet de dire que 𝑓 est une bijection de R+ sur R+ et admet donc une

bijection réciproque g définie sur R+. On dit que 𝑔 est la fonction racine 𝑛ième et on note pour tout 𝑥 de l’intervalle

R+, 𝑔(𝑥) =  𝑛√𝑥.[pic 16]

La fonction racine 𝑛ième est strictement croissante sur R+ et vérifie les propriétés suivantes :

𝑛        𝑛        𝑛

[pic 17]        [pic 18]

...