Résolution numérique d’équations et systèmes non linéaires

Compte rendu du TP n°3 – Résolution numérique d’équations et systèmes non linéaires

Partie 1/ Point fixe

Intro :

On dit que L est un point fixe de g, lorsque g(L)=L avec g une fonction.

On rappelle également que, si une méthode de point fixe donne une suite convergente alors la limite est un point fixe de g.

Question 1 :

[pic 1]

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Question 2 :

Théorème de l’étude locale de la convergence :

        Si x* est un point fixe attractif de g, il existe un intervalle autour de x*, J, tel que pour tout , la suite définie par  converge vers x*.[pic 2][pic 3]

Théorème de la vitesse de convergence :

Si x* est un point fixe répulsif, et si  est une suite définie par , et si , c’est que  est constante à partir d’un certain rang.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

 : on trouve une valeur de x finie, donc la fonction converge. De plus, le nombre d’itérations (6) est  petit par rapport a 1000 donc la vitesse de convergence est rapide, erreur non arithmétique très petite. [pic 9]

: on trouve une valeur de x infinie, donc la fonction diverge. De plus, on a besoin d’un grand nombre d’itérations pour montrer la divergence, il y a donc une erreur importante. [pic 10]

: diverge[pic 11]

: on trouve 0 donc elle diverge.[pic 12]

: on trouve un nombre d’itérations assez grand (30), on peut donc dire que la fonction converge lentement.[pic 13]

: on trouve un nombre d’itérations assez grand (56), on peut donc dire que la fonction converge encore plus lentement.[pic 14]

: on trouve un nombre d’itérations assez grand (46), on peut donc dire que la fonction converge.[pic 15]

: on voit qu’il y a convergence, pour montrer cette convergence nous n’avons besoin que de 9 itérations, soit peu. On peut donc dire que la vitesse de convergence est grande.[pic 16]

Question 3 :

Le but est de trouver  une valeur de x telle que f(x) =0.

1. [pic 17]

On trouve plusieurs solutions :

  et   et   et    [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Laquelle converge le plus rapidement possible à partir d’un point défini de x0 ?

On trouve :

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