Programmes de Mathématiques en MPSI-2
Note de Recherches : Programmes de Mathématiques en MPSI-2. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar lylh • 31 Mars 2015 • 10 824 Mots (44 Pages) • 773 Vues
Cours de Mathematiques
MPSI-2 Lycee Fermat
Alain Soyeur
Table des matieres
1 Raisonnement, ensembles 7
1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Relation d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Les nombres complexes 21
2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Rappels de trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Exponentielle imaginaire et applications en trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Racines d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Extraction de racine carree par resolution algebrique (a eviter) . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Extraction de racine carree par resolution trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Equation du second degre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Racines niemes de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.5 Racines niemes d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Fonctions usuelles 30
3.1 Theoremes d'analyse admis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Calcul pratique de derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Derivee d'une homographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Derivee d'un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Derivee logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exponentielle en facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Regle de la cha^ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Exponentielles, logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Logarithme neperien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exponentielle de base a : ax = ex ln a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Logarithme de base a : loga(x) =
ln x
ln a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Fonctions puissance x = e ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Etude des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.4 Fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.5 Fonctions hyperboliques reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fonction argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Fonction argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.6 Etude d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.7 Fonction exponentielle complexe . .
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