Mathématiques Probabilités

Chapitre 1 : La théorie des probabilités

Introduction : quelques notions préalables.

Le mot probabilité vient du latin PROBARE qui signifie prouver, tester. Ce terme est né de l’envie de prévoir l’incertain. Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, ce nombre définit le degré d’incertitude : plus la probabilité est proche de 0, plus l’incertitude est forte ; plus elle se rapproche de 1, plus on est certain.

Les probabilités ne prédisent pas l’avenir (Par exemple, la probabilité dans un lancé de dé de faire un 6 est de 1/6 mais si on lance le dé 6 fois on n’est pas sur de faire un 6).

●La notion d’expérience aléatoire

On parle d’expérience aléatoire s’il est impossible de savoir avec certitude à l’avance quel en sera l’issue, le résultat. Jeter un dé est une expérience aléatoire, jouer à la roulette, à pile ou face, tirer un étudiant et connaitre d’avance la couleur de ses yeux également.

●L’ensemble, l’univers l’espace des possibles / l’ensemble fondamental

Pour chaque expérience aléatoire on doit être capable de numérer l’ensemble des résultats possibles qu’on appelle ensemble des possibles (noté Ω) qu’on met généralement dans l’ordre croissant.

Pour le lancer de dé : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Pour le jeu à pile ou face : Ω = {P ; F}

Pour le nombre de fois qu’un étudiant mange au RU dans la semaine : Ω = {0 ; 1 ; 2 ; … ; 14}

Exemple : On lance deux fois de suite une pièce

Ω = {(P ; F) ; (F ; P) ; (P ; P) ; (F ; F)}

On peut intégrer une contrainte ici, « la pièce est mangée par le chien » (on l’a note C )

Ω = {(P ; F) ; (F ; P) ; (P ; P) ; (F ; F) ; (C) ; (P ; C) ; (F ; C)}

● L’événement

Un événement est lié à une expérience aléatoire, c’est un sous ensemble de l’ensemble des possibles, c’est une proposition que je cherche à tester.

Exemple : P = faire pile est un événement, F = faire face est un événement.

Un événement élémentaire est un événement qui se confond avec un résultat possible de l’expérience, si ce n’est pas le cas, on parle de combinaison d’événement.

Nous allons travailler avec des événements dénombrables dans un univers discret. L’ensemble des possibles peut être dénombrable et infinie comme le fait de lancer une pièce et de continuer jusqu’à l’obtention d’un face.

Un événement peut en exclure d’autres mais il peut également en impliquer d’autres.

I. L’algèbre des événements.

1.1 Opération sur des événements et opérations sur des ensembles.

L’algèbre de BOOLE sert à simplifier les combinaisons d’événements. Il y a trois opérations importantes le « ou », le « et » et le « non ». Ces trois opérations impliquent des propriétés différentes.

Ou ∪

Et ∩

Non () ̅

●L’union=∪

E_1∪E_2 L’union est inclusif, l’un au moins se produit donc soit E_1soit〖 E〗_2 ou soit les deux.

E_1∪E_2∪…∪ E_k=⋃_(i=1)^k▒E_i

Graphique représentant les événements, diagramme de Venn

Si c’est colorier (ou hachurer) au moins une fois cela se produit.

● L’intersection = ∩

E_1∩E_2

Pour que l’événement se produit il faut que ce soit colorier ( ou hachurer) autant de fois que d’événements soit ici deux.

E_1∩E_2∩E_3

On dira que les événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément, cela peut être des événements contraires (cas particulier) ou non.

Représentation graphique d’événements contraires :

● Partition des possibles

Un événement et son événement contraire forment une partition de l’ensemble des possibles.

E_1∩(E_1 ) ̅= ∅

E_1∪(E_1 ) ̅=Ω

Soit E_1;E_2;… E_k événements de Ω On dit que ces événements forment une partition de l’ensemble des possibles si et seulement pour tout i différents de j E_i∩E_j= ∅ et ⋃_(i=1)^k▒〖E_i=Ω〗

1. 2 Les propriétés de ces opérations

Union Intersection

Commutativité E_1∪E_2=E_2∪E_1 E_1∩E_2=E_2∩E_1

Idempotence E_1∪E_1=E_1 E_1∩E_1=E_1

Associativité 〖(E〗_1∪E_2)∪E_3=E_1∪〖(E〗_2∪E_3) 〖(E〗_1∩E_2)∩E_3=E_1∩〖(E〗_2∩E_3)

Distribution (factorisation) E_1∪〖(E〗_2∩E_3)=〖(E〗_1∪E_2)∩〖〖(E〗_1∪E〗_3) E_1∩〖(E〗_2∪E_3)=〖(E〗_1∩E_2)∪〖〖(E〗_1∩E〗_3)

E_1∪E ̅_1=Ω E_1∩E ̅_1= ∅

E_1∪∅=E_1 E_1∩ ∅= E_1

E_1∪Ω=Ω E_1∩ Ω= E_1

E_1∪〖(E〗_1∩E_2)=E_1 E_1∩〖(E〗_1∪E_2)=E_1

1. 3 La traduction booléenne de quelques événements classiques

Soit trois événements : A, B et C.

1) A seul se produit

A ∩B ̅∩C ̅

On ne peut pas écrire

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