Les nombres complexes

les nombres complexes

1 Définition

L'ensemble ℂ contenant ℝ est un ensemble de nombres sur lequel on peut définir une addition et une multiplication ayant les mêmes propriétés que celles de ℝ. Les nombres de ℂ sont les nombres complexes.

Parmi ces nombres, il en existe un, note i, tel que i² = -1

Tout élément z de ℂ s'écrit de façon unique a+b i ou a et b sont deux réels

On appelle forme algébrique du nombre complexe z cette écriture z=a+b i.

w a est la partie réelle de z et on note a = Re(z)

w b est la partie imaginaire de z et on note b = Im(z)

Exemple :

Le nombre z=−6+3i est un nombre complexe.

Sa partie réelle est Re(z)=−6, sa partie imaginaire est Im(z)=3

Le nombre z=−i est un nombre complexe.

Sa partie réelle est Re(z)=0, sa partie imaginaire est Im(z)=–1

Le nombre z= 9 est un nombre complexe.

Sa partie réelle est Re(z)= 9

Sa partie imaginaire est Im(z)=0

PREMIERES PROPRIETES :

w z est un réel ⇔ Im(z)=0

w On appelle imaginaire pur tout nombre complexe z de forme z=b i

z est un imaginaire pur ⇔ Re(z)=0

w Condition d’égalité de deux nombres complexes : z=z' ⇔ Re(z) = Re(z') et Im(z) = Im(z')

w Addition de deux nombres complexes : (a+b i)+(a'+b' i)=a+a'+(b+b')i

w Produit de deux nombres complexes : (a+b i)(a'+b 'i)=aa '−bb'+(ab'+ba ')i

(ces deux formules ne sont pas a retenir mais s'utilisent ≪ naturellement ≫)

w Oppose d'un nombre complexe : Si z=a+b i alors −z=−a−b i

2 Conjugué d'un nombre complexe :

On appelle conjugue de z=a+b i le complexe a−b i et on le note z. On a donc z=a−bi.

Exemple :

Le conjugué de z=4−2 i est z=4+2 i, celui de z=−5i est z=5i , celui de z=−4 est z=-4.

3- Forme trigonométrique d'un nombre complexe :

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