Corrigé BTS SIO, mathématiques

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BTS Service informatiques des organisations 1re année

         MATHÉMATIQUES        

         CORRIGÉ TYPE 1        

■Exercice 1

Partie A

1°) « Et » se traduit par une multiplication ; « ou » se traduit par une addition  ;

• Etre équipé d’un processeur  quad-­‐code ET d’un disque dur SSD  se traduit donc par : 𝑎𝑐[pic 11]
• Processeur dual-­‐core ET  carte graphique 4 GO se traduit par : 𝑎 𝑏[pic 12]
• Processeur quad-­‐core ET d’une carte graphique ET d’un disque dur SATA se traduit donc par : abc

Etre équipé de l’un ou l’autre de ses assemblages se traduit donc par l’expression booléenne :

𝐸  =  𝑎𝑐  + 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐[pic 13]

𝑏

𝑏

𝑎

1

1

1

𝑎

1

1

𝑐

𝑐

𝑐

2°) Diagramme de Karnaugh :

D’après ce diagramme : 𝐸 = 𝑏 + 𝑎𝑐𝑏 ou bien : 𝐸 = 𝑏 + 𝑎𝑐[pic 14][pic 15]

Explications : On met « 1 » dans les cases correspondantes aux diverses expressions Simplification par le calcul :[pic 16][pic 17]

𝐸 = 𝑎𝑐 + 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑐 (𝑏 + 𝑏 ) + 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐        car  𝑏 + 𝑏 = 1

=    𝑎𝑐𝑏   +  𝑎𝑐   𝑏   +   𝑎   𝑏   + 𝑎𝑏𝑐[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

= 𝑎𝑏 𝑐 + 𝑐 + 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

= 𝑎𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐[pic 29][pic 30]

= 𝑏  𝑎 + 𝑎  + 𝑎𝑏 𝑐[pic 31][pic 32][pic 33]

= 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐[pic 34]

= 𝑏 + 𝑎𝑐[pic 35]

3°) Ce résultat se traduit par : Les ordinateurs doivent être équipés d’une carte graphique 4 GO (correspondant à 𝑏 )  OU  (d’un processeur quad-­‐core ET d’un disque dur SSD : correspondant à  𝑎𝑐            )[pic 36]

Partie B

!,![pic 37]

1°) 𝑢! = 5000 + 5000× !"" = 5000× 1 +[pic 38]

= 5000×1,035        𝟓𝟏𝟕𝟓 €

Une augmentation de 3,5% revient à multiplier par (1 +  !,!  ) soit par 1,035[pic 39][pic 40][pic 41]

!,!

!""

!""

On a donc de même : 𝑢! = 1,035×𝑢! = 1,035×5175        𝟓𝟑𝟓𝟔 €[pic 42]

2°) De la même manière : si   𝑢!  est le montant financé à la 𝑛 − 𝑖è𝑚𝑒 année,  le montant financé l’année suivante se calcule en faisant : 𝑢!!!  = 1,035×𝑢!

La suite 𝒖𝒏  est donc géométrique de raison 𝒒 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟓[pic 43][pic 44]

3°) a) D’après la formule du cours : 𝑢!  = 𝑢!×𝑞!!!  = 𝟓𝟎𝟎𝟎×𝟏, 𝟎𝟑𝟓𝒏!𝟏

b) Pour calculer le montant financé au bout de 12 trimestres, il faut additionné les montants des 12 premiers trimestres soit :

𝑢! + 𝑢! + … … . + 𝑢!" = 𝑢! ×

𝑞!" −    1

= 5000×[pic 45]

𝑞 − 1

1,035!" − 1

≈ 𝟕𝟑 𝟎𝟏𝟎 €[pic 46]

1,035 − 1

4°) Algorithme :

Ligne  9 : Tant que 𝑆  <  96 000        (tant que la somme totale S n’est pas financée)

Ligne 12 : S prend la valeur  𝑆  + 𝑢

Ligne 15 : afficher N Ligne 16 : afficher  S

Remarque : on peut intervertir les lignes 15 et 16

5°) a) Il suffit de reprendre la formule du calcul de la somme déjà utilisée à la question 3°) b) :

𝑞!  − 1

1,035!  − 1

 5000        !

𝑆 = 𝑢!  + 𝑢!  +  … … . + 𝑢!  =  𝑢!  ×  𝑞 − 1   = 5000×  1,035 − 1   = 0,035 ×(1,035[pic 47][pic 48]

− 1 )

Pour aboutir au résultat de l’énoncé, on fait le calcul suivant :

!"""  =   !×!"![pic 49][pic 50]

=  ! × !"

= ! ×10! = !"

!,!"#[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

!

!

!"×!"!!

!"        !"!!        !        !

b) S≥ 96000 ⇔ !"[pic 55]

!

!

×(1,035!  − 1 ) ≥ 96000

Soit   1,035!  − 1 ≥ !"###×![pic 56]

!"!

⇔ 1,035!  ≥ !"###×! + 1 ⇔ 1,035!  ≥ 1,672

!!![pic 57]

On applique le logarithme Népérien aux deux membres :

...