Correction D2 maths BTS SIO

BTS Service Informatiques aux Organisations

Mathématiques

Première année

Devoir 2

Exercice 1 (Suites, convergence, arithmétiques et géométriques) (13 points)

Partie A (6,5 points)

1. Compléter ce tableau. (0,25 point + 0,25 point )

y

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

x

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

0

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Cf

Soit f la fonction définie sur [1;+∙[ par f (x) = 20 − 20 × 0,75x dont voici la représentation graphique :a.        (0,25 point) U8 ♠ 18.

b. (0,25 point) Il a donc eu 18 000 disques durs fabriqués le huitième mois.

1. (1 point)

Pour tout entier naturel n tel que n ≥ 1 on a

Un+1 −Un

= 20 − 20 ∞ 0, 75n+1 − (20 − 20 ∞ 0, 75n )

= 20 − 20 ∞ 0, 75n+1 − 20 + 20 ∞ 0, 75n

= 20 ∞ (−0, 75n+1 + 0, 75n )

= 20 ∞ 0, 75n ∞ (−0, 75 +1)

= 20 ∞ 0, 75n ∞ 0, 25

= 5 ∞ 0, 75n        qui est positif.

Donc la suite de terme général Un est croissante.

1. (1 point)

Graphiquement, on conjecture que cette suite est majorée par 20. Prouvons-le en étudiant le signe de 20-Un

20 −Un

= 20 − (20 − 20 ∞ 0, 75n )

= 20 − 20 + 20 ∞ 0, 75n

= 20 ∞ 0, 75n qui est strictement positif

Ainsi 20 −Un >0 s’écrit encore 20 > Un ce qui signifie que la suite de terme général Un est majorée par 20.

1. (1 point)

La suite de terme général Un est croissante et elle est majorée donc elle converge. (Théorème p166)

y

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

x

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

0

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Cf

a. (0,5 point) Graphiquement, l’inéquation f(x)>19 a pour ensemble de solutions : ]10,4 ; + ∙ [ donc dès le 11e mois de production cette entreprise fabriquera plus de 19000 disques durs par mois.

b. (1 point) Résolvons algébriquement l’inéquation : Un>19

20 − 20 ∞ 0, 75n > 19

20 −19 > 20 ∞ 0, 75n

1 > 20 ∞ 0, 75n

 1 > 0, 75n

...