Théorie de la valeur actuelle

Université Libre de Bruxelles

Solvay Business School

La valeur actuelle

André Farber

Novembre 2005

1. Introduction

Supposons d’abord que le temps soit limité à une période et que les cash flows futurs (les flux monétaires) soient certains. Dans ce contexte, la formule de calcul de la valeur actuelle d’un cash flow futur C1 étant donné le taux d’intérêt r en vigueur sur le marché est : rCVA+=11

Cette formule peut s’écrire :

VA(1+r) = C1

Cette expression montre que la valeur actuelle est le montant à placer aujourd’hui pour obtenir C1 en fin de période si le taux d’intérêt par période est r.

Une autre présentation de la même formule peut être donnée :

VA = C1 × v1

dans laquelle v1 = 1/(1+r) est le facteur d’actualisation. Ce facteur d’actualisation est le prix de marché d’un zéro-coupon de valeur faciale unitaire. Une zéro-coupon est une obligation élémentaire qui ne verse pas d’intérêts intermédiaires (les coupons) et donne lieu à un paiement unique à l’échéance d’un montant appelé la valeur faciale. Un zéro-coupon de valeur faciale unitaire verse donc 1€ à l’échéance.

Dans cette note, nous relâchons l’hypothèse d’un avenir limité à une seule période. Nous montrons comment calculer la valeur actuelle d’une chronique quelconque de cash flows futurs. Nous maintenons cependant l’hypothèse de certitude. Certaines des formules présentées dans cette note sont d’application dans une situation plus réaliste d’incertitude mais nous continuons à assimiler le taux d’actualisation uniquement à un taux d’intérêt. Dans un contexte d’incertitude, nous devrons ajouter au taux d’intérêt une prime de risque pour obtenir le taux d’actualisation.

2. Formule générale

VALEUR ACTUELLE ET FACTEUR D’ACTUALISATION

L’analyse présentée dans l’introduction conduit naturellement à une définition générale de la valeur actuelle. La valeur actuelle d’un flux de trésorerie (ou cash flow) futur est le prix (ou la valeur) sur les marchés financiers de ce flux. Elle est calculée en multipliant ce flux (Ct) par un facteur d’actualisation (vt). Celui-ci correspond au prix de marché aujourd’hui (temps 0) d’une unité monétaire disponible à la date future (temps t).

La valeur actuelle theorie v1 1 de 7

ttVACv=×

De manière similaire, la valeur actuelle d’un échéancier de cash flows : C1, C2, …, CT est la somme des valeurs actuelles des cash flows individuels.

1122 TTVACvCvCv=×+×+…+×

Lorsque les cash flows futurs sont connus avec certitude, les facteurs d’actualisation peuvent être obtenus directement en observant les prix de zéro-coupons basés sur des obligations d’Etat. En effet, il existe des instruments financiers traités sur les marchés dont le prix aujourd’hui correspond exactement au droit à recevoir un montant de 1€ dans n années, ce qui équivaut à notre facteur d’actualisation pour l’année n. Ces obligations sont connues sous le nom de STRIPS (« Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities »). Une obligation d’Etat traditionnelle comprend des coupons (les intérêts payés périodiquement) et le principal (le remboursement à l’échéance de la valeur nominale). Une série de STRIPS est créée en scindant une obligation en plusieurs morceaux, chacun d’eux correspondant à un seul encaissement.

Le facteur d’actualisation est également lié à un taux d’actualisation, le taux d’intérêt correspondant à l’échéance, par la formule : tttrv)1(1+=

Cette formule peut aussi s’écrire :. Cette présentation indique que la valeur future d’un montant v (1 ) 1tttvr×+=t placé pendant t années à un taux annuel moyen rt avec réinvestissement annuel des intérêts est égal à l’unité. Le taux d’intérêt rt est aussi appelé taux comptant (« spot rate ») quand on veut préciser qu’il est applicable à tout emprunt ou prêt démarrant aujourd’hui. L’ensemble des taux au comptant et de leur échéance ultime donne la structure par terme des taux d’intérêt.

Si l’on fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est indépendant de l’échéance, c’est-à-dire que la structure par terme des taux est plate, la formule du facteur d’actualisation s’écrit

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