Introduction matrices, application linéaire

Dans cette ressource, on ne considère que des espaces vectoriels de type fini sur un même corps [pic 1] . Cette dernière hypothèse permet d'étudier des applications linéaires entre ces différents espaces.

Les résultats qui sont développés ici, décrivant un lien entre la notion de matrice et celle d'application linéaire, sont fondamentaux.

Soient [pic 2] et [pic 3] deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps [pic 4] .

Soit [pic 5] la dimension de [pic 6] et [pic 7] une base de [pic 8] .

Soit [pic 9] la dimension de [pic 10] et une base de [pic 11] .

Soit [pic 12] une application linéaire de [pic 13] dans [pic 14] .

L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que :

- l'application linéaire [pic 15] est déterminée de façon unique par l'image d'une base de [pic 16] , donc par les vecteurs [pic 17]

- si [pic 18] est un entier compris entre [pic 19] est un vecteur de [pic 20] et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base [pic 21] de [pic 22] .

Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de [pic 23] choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante :

si [pic 24] est un entier compris entre [pic 25] , il existe [pic 26] scalaires [pic 27] uniques

tels que [pic 28]

[pic 29]

La notation ( [pic 30] ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel [pic 31] muni de la base [pic 32] . Elle sera utilisée dans toute cette ressource.

Remarque

Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires :

- le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de [pic 33] ;

- le premier qui, pour un même [pic 34] , varie entre [pic 35] et [pic 36] , indique que a_{i,j} est la coordonnée de [pic 37] sur le vecteur [pic 38] de la base de [pic 39] .

Donc, l'application linéaire [pic 40] est entièrement déterminée par les [pic 41] coefficients (il y a[pic 42] vecteurs [pic 43] et pour chacun d'eux, il y a [pic 44] coefficients [pic 45] ). Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à [pic 46] lignes et [pic 47] colonnes de terme général [pic 48] .

On a donc la définition suivante :

Définition

On appelle matrice associée à l'application linéaire [pic 49] par rapport aux bases

[pic 50] la matrice à [pic 51] lignes et [pic 52] colonnes dont la [pic 53] -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base[pic 54] du vecteur [pic 55] .

Cela signifie que si [pic 56] est un entier compris entre [pic 57] et [pic 58] et si [pic 59] s'écrit :

[pic 60] ,

la [pic 61] -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases [pic 62] et [pic 63] est [pic 64]

Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de [pic 65] par rapport aux bases [pic 66] et [pic 67] oudans les bases [pic 68] et [pic 69] ou relativement aux bases [pic 70] et [pic 71] .

Remarque : Remarques fondamentales

1. Le type de la matrice associée à l'application linéaire [pic 72] par rapport aux bases [pic 73] et [pic 74] dépend uniquement de la dimension de [pic 75] et de celle de [pic 76] . En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de [pic 77] et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de [pic 78] .
2. Des bases étant choisies respectivement dans [pic 79] et [pic 80] , il y a unicité de la matrice associée à [pic 81] conformément à la définition précédente.Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases.

Notation

La communauté mathématique n'a pas fait un choix unique reconnu par tous pour noter la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases.

Il s'agit de faire un choix d'une convention d'écriture où doivent figurer l'application linéaire concernée et les bases choisies.

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