Les suites géométriques

Les suites géométriques -limite d’une suite num´erique.

Nicolas Oresme, math´ematicien français (1320-1382) calcule des sommes de termes de suites g´eom´etriques.

I/ Un autre exemple: les suites g´eom´etriques

1) D´efinition.

D´efinition: Une suite est g´eom´etrique lorsque,chaque terme est obtenu en multipliant le pr´ec´edent

par un nombre r´eel constant q appel´e la raison de la suite.

Une suite g´eom´etrique (un) de terme initial u0 et de raison q est d´efinie sur N par la formule de r´ecurrence

un+1 = un × q

Exemples:

1) Pour tout n ∈ N



u0 = 3

un+1 = 4un

2) Une ville peupl´ee de 800 habitants voit sa population augmenter de 5% par an. Chaque ann´ee la

population est multipli´ee par 1 + 5

100

= 1, 05. Donc elle peut ˆetre mod´elis´ee par une suite g´eom´etrique

de raison 1,05.

Exercice: Conjecturer si les suites suivantes sont g´eom´etriques, puis le prouver.

1) Pour tout entier naturel n: un = 3n

2

2) Pour tout entier naturel n: un = 3n

2) Formule explicite.

Propri´et´e: Soit (un) une suite g´eom´etrique de terme initial u0 et de raison q, la formule explicite

de (un) est un = u0 × q

n

.

D´emonstration:

Si q = 0, alors u1 = u2 = .... = 0 et donc pour tout n ≥ 0, un = u0 × q

n

.

On suppose que q 6= 0 et que u0 6= 0 on ´ecrit la relation de r´ecurrence pour les indices de 1 `a n:

u1 = u0 × q

u2 = u1 × q

1

u2 = u2 × q

.......

un−1 = un−2 × q

un = un−1 × q

Puis on fait le produit des membres de gauche et des membres de droite, tout se simplifie et il ne reste

que un = u0 × q

n

Remarques:

1) si le terme initial est u1 alors le terme g´en´eral est un = u1 × q

n−1

.

2) Les suites num´eriques mod´elisent les ph´enom`enes discrets `a ´evolution exponentielle.

Exemple: Pour tout n ∈ N



u0 = 4

un+1 = 3un

Donner la formule explicite de la suite (un).

3) Variations.

Propri´et´e (admise): Soit (un) une suite g´eom´etrique de terme initial non nul u0 et de raison q.

1) Si q > 1 et u0 > 0 alors la suite (un) est croissante sur N

2) Si q > 1 et u0 < 0 alors la suite (un) est d´ecroissante sur N

3) Si 0 < q < 1 et u0 > 0 alors la suite (un) est d´ecroissante sur N

4) Si 0 < q < 1 et u0 < 0 alors la suite (un) est croissante sur N

5) Si q = 1 alors la suite (un) est constante sur N

6) Si q = 0 alors la suite (un) vaut 0 `a partir du deuxi`eme terme

7) Si q < 0 alors la suite (un) n’est pas monotone.

Exemples A l’aide de graphiques.

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