Cours de logique

Cours de logique

Roland Christophe

8 septembre 2008

Table des mati`eres

1 Qu’est ce que la logique?        2

1.1 D´efinition        2

1.2 Le concept de th´eorie en math´ematique        2

1.2.1 Les d´efinitions        2

1.2.2 Les axiomes        2

1.2.3 Les th´eor`emes        4

1.3 Bref historique        4

2 Le langage formel        5

2.1 Introduction        5

2.2 Langage formel et langage naturel        5

2.3 D´efinition        5

3 Introduction au calcul des propositions        6

3.1 Introduction        6

3.2 Connecteurs logiques        7

3.2.1 Le connecteur « Non » (n´egation)        7

3.2.2 Le connecteur « ou » (disjonction)        7

3.2.3 Le connecteur « et » (conjonction)        8

3.2.4 Le connecteur « si... alors » (conditionnel mat´eriel)        8

3.2.5 Le connecteur « est ´equivalent `a »        8

3.2.6 D’autres connecteurs        9

3.3 Langage de la logique propositionnelle        9

4 Tautologies        10

4.1 D´efinition        10

4.2 Tautologies remarquables        11

5 Calcul des pr´edicats        12

5.1 Les pr´edicats        12

5.2 Quantificateurs existenciels et universels        13

5.2.1 Le quantificateur existenciel        13

5.2.2 Le quantificateur universel        13

5.3 Alphabet et syntaxe        14

        5.4        Egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´        15

1. Qu’est ce que la logique?

1. D´efinition

La logique vient du grecque « logos » qui signifie « parole, discours », et par extension « rationalit´e », la logique est donc la science de la raison. Plus pr´ecis´ement, c’est la sciences qui ´etudie les r`egles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet de distinguer un raisonnement valide d’un raisonnement qui ne l’est pas.

1. Le concept de th´eorie en math´ematique

Un premier concept important en logique est le concept de th´eorie. Une th´eorie est un ensemble de d´efinitions, d’axiomes (on vera un peu plus tard ce concept), de th´eor`emes,... qui traite d’un sujet particulier.

1. Les d´efinitions

Un ´el´ement important d’une th´eorie sont les d´efinitions. Formellement, une d´efinition est un ´enonc´e qui introduit un nouveau symbole appel´e terme a partir d’une suite de symboles d´ej`a connus, appell´e assemblage. On vera en effet plus loin que nous utiliserons un langage symbolique. Toutefois, on ne peut utiliser exclusivement les symboles pour des raisons pratiques : une d´efinition utilisant les symboles logiques exclusivement est tr`es « lourde » `a lire, on utilise alors le langage courant. Toutefois, pour ne pas perdre toute la rigueur de ces d´efinitions, on utilise souvent les deux sortes de d´efinition (par le langage courant et par le langage math´ematique).

1. Les axiomes

Ce qui forme la base d’une th´eorie (le point de d´epart), sont les axiomes. Ce sont simplement des affirmations que l’on tient pour vrai. Il est d’ailleurs inutile de contester la v´eracit´e d’un axiome : un axiome est toujours vrai, par d´efinition. L’ensemble des axiomes d’une th´eorie s’appelle axiomatique. La seule contrainte est que les axiomes ne doivent pas se contredire (ce qui est logique mais c’est important). Aucun axiome ne peut ˆetre remis en cause dans la th´eorie, sans quoi on dira que cette th´eorie est inconsistante.

Les philosophes grecques avait une d´efinition quelque peu diff´erente de l’axiome : un axiome est une v´erit´e que l’on ne d´emontre pas car ´evidente en soi. Cette mani`ere de voir les choses pose probl`eme : comment quelque chose peut il ˆetre « ´evident »? Pourquoi cet axiome est vrai? N’aurait il pas pu ˆetre faux?

La c´el`ebre histoire du cinqui`eme axiome d’Euclide r´epond `a cette question. Rappelons tout d’abord de quoi il s’agit.

Euclide a ´enonc´e cinq axiomes comme base de la g´eom´etrie :

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