Suites numériques

Ch. 1 - Suites numériques

I – RAPPELS DE 1ère (page 385 du manuel)

II – PRINCIPE du RAISONNEMENT par RECURRENCE.

Enoncé du principe de récurrence.

Si une proposition est vraie pour l’entier naturel 𝑛0 et s’il est prouvé que lorsqu’elle est vraie pour un entier naturel p supérieur

ou égal à 𝑛0

, elle est aussi vraie pour l’entier naturel p+1, alors elle est vraie pour tous les entiers naturels supérieurs ou égaux à

𝑛0

.

Méthode :

𝑃𝑛 désigne une proposition qui dépend d’un entier naturel n et 𝑛0 désigne un entier naturel.

Pour démontrer que 𝑃𝑛 est vraie pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 𝑛0

, on procède en deux étapes :

• Initialisation : on vérifie que 𝑃𝑛0

est vraie.

• Hérédité : On suppose qu’il existe un entier 𝑝 ≥ 𝑛0

tel que 𝑃𝑝 soit vraie, et on démontre alors que 𝑃𝑝+1 est vraie.

Exemple

Inégalité de Bernoulli : Pour tout entier naturel n, (1 + 𝑥)

𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥 où x désigne un nombre réel strictement positif.

Démonstration (ROC)

Soit x un réel positif strictement. Il s’agit de démontrer, pour tout entier naturel n, la proposition suivante 𝑃𝑛 ∶ (1 + 𝑥)

𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥

Initialisation : (1 + 𝑥)

0 = 1 et 1 + 0 = 1. On a bien 1 ≥ 1. Donc la proposition est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel p pour lequel la proposition est vraie, c'est-à-dire (1 + 𝑥)

𝑝 ≥ 1 +𝑝𝑥

Montrons alors que la proposition est vraie au rang 𝑝 +1.

(1 + 𝑥)

𝑝 ≥ 1+ 𝑝𝑥 (hypothèse de récurrence)

D’où (1 + 𝑥)

𝑝

(1 + 𝑥) ≥ (1 +𝑝𝑥)(1 +𝑥) car 1 + 𝑥 > 0

Soit (1 + 𝑥)

𝑝+1 ≥ 1 +𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑝𝑥²

Soit encore (1 + 𝑥)

𝑝+1 ≥ 1 +(𝑝 + 1)𝑥 + 𝑝𝑥²

D’où (1 + 𝑥)

𝑝+1 ≥ 1 +(𝑝 + 1)𝑥 car 𝑝𝑥

2 > 0

On a donc montré que, si la proposition est vraie au rang p, alors elle est vraie au rang 𝑝 +1.

Ainsi, d’après

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