Flexion simple

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TP n°III

FLEXION DES

POUTRES DROITES

Flexion pure

Flexion simple

 ETUDE DE LA FLEXION DES POUTRES

I. ETUDE THEORIQUE DE LA FLEXION PURE

Une poutre est sollicitée en flexion pure si le moment fléchissant dans les sections droites est l'unique action. Les efforts normaux et tranchants sont nuls.

Les sections, dans leur ensemble, ne se courbent pas pendant la flexion mais effectuent simplement une rotation.

Les relations de la Résistance des Matériaux sont appliquées à des points éloignés des points d'application des forces (Hypothèse de SAINT VENANT).

Ainsi, l'apparition des déformations est le résultat de la rotation des sections planes les unes par rapport aux autres.

La Figure 1 nous montre un tronçon de poutre droite sollicitée en flexion pure.

Nous pouvons constater que:

- Les deux sections droites S1 et S2 distantes de dx subissent une rotation relative d'angle dα

- Les fibres supérieures sont comprimées

- Les fibres inférieures sont tendues

Nous admettrons que les dimensions de la section droite sont petites devant le rayon de courbure R, que les déformations restent petites et n’entraînent pas de dépassement de la limite élastique (Loi de HOOKE)

La figure 2 n'est valable que pour les déformations longitudinales, car les déformations sont très petites.

I.1. Contrainte normale dans la section droite

L'allongement relatif εx de la fibre MN dans la direction x est:

εx =  Δl/l = NN'/MN = NN'/dx

Dans le triangle g1NN', tan dα = dα (dα est petit)

tan dα = NN' / g1N

NN' = g1N dα = y dα

D'où:

εx = y dα/dx

La loi de HOOKE permet d'écrire:

σx = E εx = E y dα/dx

Or le produit E. Δα / Δx est constant. On a donc :

                σx = f (y)

On en déduit donc que la contrainte normale dans une section droite est répartie linéairement.

La contrainte normale se répartie donc de la façon suivante dans une section droite:

σ = f(y):        y = 0        =>  σ = 0    (fibre neutre)

                            y = h/2        =>  σ = σmax

I.2. Action mécanique de cohésion dans une section droite

a) Coïncidence de la fibre neutre avec la fibre moyenne de la poutre

dα =   dx

La couche pour laquelle σ=0 est appelée fibre neutre. Supposons qu'elle se trouve à une distance E de la fibre moyenne de la section.

Montrons que e=0.

Soit une fibre située à une distance à une distance µ de la fibre neutre.

Sa déformation est: ε(µ) = (µ-e) dα/dx

                                         = (µ-e) dx/dx

                                         = (µ-e)

On en déduit donc:

σ(µ) = -E α(µ) = -E (µ-e)

L'équation d'équilibre des efforts normaux donne:

N =    σ dS = 0

N =    E   (µ-e) dS

0 =    E   (µ-e) dS

0 =    µ dS  - eS

Or     µ dS, le moment statique de la section par rapport à G2, est nul.

donc, eS = 0

donc e = 0

On peut donc en conclure que la fibre neutre coïncide avec la fibre moyenne.

b) Axes principaux d’inertie

L'équation d'équilibre des moments par rapport à l'axe g1y est:

Mfy =  σz dS = 0 =  ε dα/dx z dS

or dα est petit, donc   dα/dx = y

donc    yz dS = 0 = IGyz

Le produit d'inertie est nul.

g1y et g1z sont les axes principaux d'inertie.

 c) Variation de la courbure 1/R

σ = E dα/dx y

Mfz =     σ y dS

Mfz =     E dα/dx y y dS

Mfz = E dα/dx    y² dS

Donc, Mfz = σ/y IGz

d'où  σ = Mfz / IGz  y

1/R = dα / dx

1/R = α / Ey

1/R = Mfz / IGz  y  (1/Ey)

1/R = Mf / EI

La variation de la courbure 1/R est proportionnelle à Mz et inversement proportionnelle à EI, le produit de rigidité.

 I.3. Contrainte normale en fonction des charges

On a   σ = Mfz/Igz * Y

Contrainte normale maximale:

Pour y = h/2    σmax = Mfz/Igz * h/2

Condition de résistance en flexion :

σmax < RPf

RPf étant pratique en flexion, ou la résistance admissible pour éviter que la poutre cède.

Mfz/Igz * h/2 < RPf

I.4. Déformations

L'équation différentielle de sa déformée a pour expression:

1/R = -y" / (1 + y'²)3/2

Avec l'hypothèse des petits déplacements y'<< 1

Donc y'² << 1

1/R = -y"

Or, 1/R = σ/y = dα/dx = Mfz/EI

Donc, l'équation différentielle de déformée en fonction des charges est:

...