Statistiques

Exercice :

Une entreprise souhaite estimer le temps moyen nécessaire à ses employés pour compléter une certaine tâche. Elle sélectionne un échantillon aléatoire de 15 employés et mesure le temps qu’ils prennent pour terminer la tâche. Les résultats sont les suivants (en minutes) :

42, 38, 35, 47, 45, 44, 48, 41, 46, 37, 49, 43, 39, 50, 36.

On suppose que le temps de complétion suit une distribution normale, mais l’écart type de la population est inconnu.

1. Calculez la moyenne et l’écart type de l’échantillon.
2. Déterminez l’intervalle de confiance à 95% pour la moyenne du temps de complétion de la tâche pour tous les employés de l’entreprise.
3. Déterminez l’intervalle de confiance à 95% pour la variance.
4. Interprétez ces intervalles de confiance.

L’intervalle de confiance donne une plage de valeurs dans laquelle nous sommes confiants à 95% que la vraie moyenne (ou variance) du temps de complétion pour tous les employés se situe. Si nous répétions cette procédure de sélection d’échantillons et de calcul de l’intervalle de confiance de nombreuses fois, nous nous attendrions à ce que la vraie moyenne (ou variance) soit dans cet intervalle 95% du temps.

Exercice 2 :

Pour calculer l’intervalle de confiance à 95% pour la probabilité d’obtenir face, nous pouvons utiliser la formule pour l’intervalle de confiance pour une proportion.

La formule est la suivante :

p^​±Znp^​(1−p^​)​​

où :

• p^​ est la proportion observée (le nombre de succès divisé par le nombre total d’essais),
• Z est le score Z pour le niveau de confiance souhaité (pour un intervalle de confiance de 95%, Z vaut environ 1,96),
• n est le nombre total d’essais.

Dans cet exercice, nous avons obtenu face 24 fois sur 40 lancers. Donc, p^​=4024​=0.6 et n=40.

En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :

0.6±1.96400.6(1−0.6)​​

En calculant cela, nous obtenons l’intervalle de confiance à 95% pour la probabilité d’obtenir face.

N’oubliez pas que cet intervalle de confiance est basé sur l’hypothèse que les lancers de pièce sont indépendants et identiquement distribués, ce qui est généralement raisonnable pour des lancers de pièce.

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