Théorème de Thalès

Chapitre 10                                3ème

Chapitre 10 : Géométrie dans l’espace

1. Volumes : Sphères et boules

Définition : Soit , un point de l’espace et , un nombre strictement positif. [pic 1][pic 2]

On appelle sphère de centre  et de rayon , l’ensemble de tous les points  de l’espace qui sont situés à une distance  du point  :  = .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

On appelle boule de centre  et de rayon  l’ensemble de tous les points  de l’espace qui sont situés à une distance du point  inférieure ou égale à  :  …… .[pic 17][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Exemple :

Les segments ,  et  sont des diamètres de la sphère.[pic 18][pic 19][pic 20]

On dit que les points  et  sont diamétralement opposés.[pic 21][pic 22]

Tous les diamètres ont la même longueur. Cette longueur est appelé diamètre de la sphère. O est le centre de la sphère et le milieu de tous les diamètres.

[pic 23]

II. Repérage dans l’espace

a/ Dans un parallélépipède rectangle

Définition :Tout point  d’un parallélépipède rectangle peut être repéré à partir d’un sommet et des arrêtes partant de ce sommet :[pic 24]

                 ce sommet et ces trois arrêtes forment une base (ou un repère de l’espace) ;[pic 25]

                 le sommet est appelé l’origine ;[pic 26]

                 les 3 arrêtes forment respectivement l’axe des abscisses l’axe des ordonnées et                 l’axe des cotes (ou altitude, ou hauteur).[pic 27]

Le point  a ainsi 3 coordonnées : .[pic 28][pic 29]

[pic 30]

Exemple : Dans le repère tracé ci-contre :

•  est l’origine du repère ; [pic 31]
•  est l’axe des abscisse ;[pic 32]
•  est l’axe des ordonnées ;[pic 33]
•  est l’axe des cotes[pic 34]

Donner les coordonnées de chaque sommet du

parallélépipède :

D(0 ;0 ;0)  A(2 ;0 ;0)  C(0 ;3 ;0)   H(0 ;0 ;3)   B(2 ;0 ;3)

G(0 ;3 ;3)   F(2 ;3 ;3)

b/ Sur une sphère

Définition : Si on assimile la Terre à une sphère, on peut repérer un point à sa surface par deux coordonnées correspondant à des mesures d’angles : sa latitude, et sa longitude.

La latitude exprime la position Nord-Sud par rapport à l’équateur.

La longitude exprime la position Ouest-Est par rapport au méridien de Greenwich.

On peut préciser la position par les points cardinaux ou par un signe :

 pour le Nord et l’Est,  pour l’Ouest et le Sud.[pic 35][pic 36]

[pic 37]

Exemple : Exprimer de deux manières différentes la

latitude et la longitude du point  représenté ci-contre.[pic 38]

M(45°N ;30°E) ;M(45°+ ;30°+)

III. Sections planes de solides

a/ Section d’un pavé droit

Propriété : La section d’un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) par un plan parallèle à une face est un rectangle de ……………… dimensions que cette face.

[pic 39][pic 40]

Exemple :  est un parallélépipède rectangle de[pic 41]

hauteur  et dont la base a pour dimension  et . [pic 42][pic 43][pic 44]

Représenter en vraie grandeur la section .[pic 45]

Propriété : La section d’un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) par un plan parallèle à une arête est un rectangle dont une dimension est la ……………… de l’arête.

Exemple : Le plan IJKLest parallèle aux arêtes [AD], [BC], [EH] et [FG].

La section IJKL est donc un rectangle et : IL = BC.

[pic 46]

b/ Section d’un cylindre de révolution

Propriété : Soit , un nombre  strictement positif.[pic 47]

La section d’un cylindre de rayon  par un plan parallèle aux bases est un cercle de rayon R.[pic 48]

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