Equations et inéquations du second degré

Chapitre 3. Equations et inéquations du second degré

1. Equations du second degré et factorisation d’un trinôme

Propriété et définition. Résoudre une équation du second degré, c’est trouver tous les réels  qui vérifient une égalité pouvant s’écrire sous la forme : [pic 1]

 avec .[pic 2][pic 3]

Les solutions de l’équation  sont les racines du polynôme  et les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.[pic 4][pic 5]

Pour résoudre une équation du second degré, on applique le schéma suivant :

[pic 6]

Propriété. Somme et produit des racines

Dans le cas où ,  et  sont les deux racines de l’équation .[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

• La somme des racines est égale à ;[pic 11]
• Le produit des racines est égal à .[pic 12]

Remarque : On obtient ainsi : .[pic 13]

Exemple : L’équation  a deux solutions distinctes car .[pic 14][pic 15]

Sans calculer ces solutions, on sait que leur somme est  et que le produit est .[pic 16][pic 17]

[pic 18]

1. Signe du trinôme

1. Signe d’une expression[pic 19]

Définition. Etudier le signe d’une expression  revient à déterminer la position de la courbe d’équation  par rapport à l’axe des abscisses :[pic 20][pic 21]

• Si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses,  est positive, non nulle ;[pic 22]
• Si la courbe est en dessous de l’axe des abscisses,  est négative, non nulle.[pic 23]

Lorsque , la courbe coupe ou touche l’axe des abscisses.[pic 24]

1. Signe du trinôme [pic 25]

Il dépend du signe du coefficient  pour l’allure de la parabole et du signe du discriminant  pour l’existence de points d’intersection avec l’axe des abscisses.[pic 26][pic 27]

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