Anatomie bio mécanique

Fiche notions élémentaires de maths et physiques – Créteil         Fabien Wack

Rappels mathématiques et physiques

ALgèbre

Résolution d’équation

Définition

Une équation est une expression dans laquelle il y a toujours : un signe égal et une inconnue. Une équation possède toujours deux membres : l’un situé à gauche du signe égal, l’autre situé à droite du signe égal.

Exemple :  3 x + 5 = 6 x - 2 est une équation d’inconnue x, 3 x + 5 est le membre de gauche de l’équation, 6 x - 2 est le membre de droite.

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue, telles que l’égalité soit vraie. On détermine ainsi l’ensemble des solutions.

Exemple : 6 est solution de l’équation 2 + x = 8 car l’égalité 2 + 6 = 8 est vraie.

Méthodes de resolution d’une equation

Propriete 1 : addition et soustraction

On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d'une équation : elle reste vraie.  et désignent trois nombres relatifs. Si  alors  et . Cette propriété permet de résoudre les équations du type : x + a = b.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Exemple : on retranche 6 aux deux membres[pic 6]

     on obtient :[pic 7][pic 8]

(C’est comme si : on passait 6 dans l’autre membre en changeant son signe.)

Propriete 2 : Multiplication et division

On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre non nul : elle reste vraie.

 désignent trois nombres relatifs avec . Si  alors  et  . Cette propriété permet de résoudre les équations du type .[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Exemple : , on divise les deux membres par 8 afin d’isoler  [pic 15][pic 16]

             , on obtient alors : [pic 17][pic 18]

Complément aide et exercice

Retrouvez une vidéo explicative en suivant ce lien : https://www.youtube.com/watch?v=kedHaq0ga5Y 

Retrouver des exercices corrigés en suivant ce lien :

https://mathslibres.com/algebre/alg_lineaire_axplusbegcvar_001.1366760006.pdf 

Géométrie

Trigonometrie

Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés par rapport l’angle étudié  : [pic 19]

• L’hypoténuse
• Le côté adjacent
• Le côté opposé

[pic 20]

Il est possible de déterminer la valeur du cosinus, sinus et tangente de l’angle à l’aide de la longueur des côtés du triangle.  

Les Formules

Cosinus

 , cette formule permet de connaitre le cosinus de l’angle .[pic 21][pic 22]

Sinus

 , cette formule permet de connaitre le sinus de l’angle .[pic 23][pic 24]

Tangente

 , cette formule permet de connaître la tangente de l’angle .[pic 25][pic 26]

Moyen mémo-technique : Pour se souvenir des formules il y a 2 possibilités SOH-CAH-TOA ou CAH-SOH-TOA avec C, S et T représentant respectivement cosinus, sinus et tangente et O, A et H représentant respectivement côté opposé, côté adjacent et hypoténuse.

Cercle trigonométrique

Définition : Le plan étant muni d’un repère orthonormé direct , on considère le cercle trigonométrique . Pour tout réel , le point  de  tel que ( a pour abscisse  et pour ordonnée . (cf la figure ci-dessous)[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

[pic 35]

Il existe des valeurs d’angles particulières représentées sur le schéma ci-dessus et dans le tableau ci-dessous.

utilite et Réciprocité

Toutes les formules présentées dans cette partie peuvent être utilisé pour déterminer les angles mais aussi des longueurs, et leurs décompositions en abscisse et en ordonnée.

Vecteur

Définition

Un vecteur est un objet géométrique défini par :

• Une direction
• Un sens
• Une norme

Coordonnées d’un vecteur

Dans le plan un vecteur se définit par ses coordonnées ainsi dans un plan 2D on aura  et dans un espace 3D on aura .[pic 60][pic 61]

Pour déduire les coordonnées d’un vecteur à partir de 2 points en 2D :

• Soit 2 points du plan :  alors le vecteur [pic 62][pic 63]

En 3D :

• Soit 2 points de l’espace :  alors le vecteur [pic 64][pic 65]

Normes d’un vecteur

En 2D : Soit le vecteur  alors la norme du vecteur est : .[pic 66][pic 67]

En 3D : Soit le vecteur  alors la norme du vecteur est : [pic 68][pic 69]

Projection d’un vecteur

[pic 70]

Soit le vecteur  de norme  et l’angle  qui vaut .[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

Pour déterminer les valeurs des coordonnées du vecteur  il faut utiliser les formules trigonométriques explicitées précédemment.[pic 75]

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