Methodologie suites recurrentes

M´ethodologie pour l’´etude d’une suite r´ecurrente

1er f´evrier 2010

Il s’agit de donner les r´eflexes `a avoir pour mener `a bien l’´etude d’une suite r´ecurrente (un)n2N d´efinie par



u0 2 Df

8n 2 N, un+1 = f(un)

o`u f d´esigne une fonction continue sur son domaine de d´efinition. Dites-vous bien que l’´etude d’une suite

r´ecurrente peut ˆetre excessivement compliqu´ee : le chaos n’est pas bien loin ! Quoi qu’il en soit, ce qui est dit

ici doit vous permettre de vous lancer dans une ´etude de suite r´ecurrente.

I Les r´eflexes `a avoir

R´eflexe ¬

S’assurer que la suite est bien d´efinie. Si on n’y prend pas garde, on m`ene une ´etude qui n’a pas lieu d’ˆetre.

Comment montrer qu’une suite r´ecurrente (un)n est bien d´efinie ? En montrant que u0 appartient

`a un intervalle I  Df invariant par f, c’est-`a-dire v´erifiant f(I)  I.

Trouver un tel intervalle invariant n’est pas une mince affaire. Nous y reviendrons un peu plus loin. Evidemment,

l’absence d’un tel intervalle ne permet pas de conclure que la suite n’est pas d´efinie.

Remarque : On pr´ef´erera un intervalle ferm´e (c’est-`a-dire de la forme [a, b] ou ]−1, a] ou [a,+1[ ou encore

] −1,+1[) ou mieux un segment (c’est-`a-dire de la forme [a, b]). Dans le cas o`u I = [a, b], on peut d’ores et

d´ej`a dire que la suite (un)n est born´ee

R´eflexe ­

S’assurer que f poss`ede au moins un point fixe. Dans le cas contraire, on peut conclure que la suite (un)n

diverge.

En effet : f ´etant continue, les limites finies ´eventuelles de (un)n sont `a chercher parmi les points fixes de

f c’est-`a-dire les nombres x 2 Df v´erifiant f(x) = x.

Remarque :

1. Si on a d´ej`a montr´e qu’il existe un segment I v´erifiant

• u0 2 I ;

• I  Df ;

• f(I)  I,

alors f poss`ede au moins un point fixe dans I. Cette propri´et´e est une cons´equence du th´eor`eme des

valeurs interm´ediaires.

Elle est fausse si I est de la forme [a,+1[ ou ] − 1, a]. Ainsi, [0,+1[ est invariant par la fonction

exponentielle mais celle-ci ne poss`ede aucun point fixe.

1

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010

2. Le fait que I soit suppos´e ferm´e est crucial ici. `A titre d’exemple, consid´erons la suite r´ecurrente (un)n

d´efinie par (

u0 = 1

2

8n 2 N, un+1 = p

un

L’intervalle ]0, 1[ est invariant par la fonction f d´efinie sur R+ par f(x) =

p

x, mais f ne poss`ede aucun

point fixe dans cet intervalle : on peut v´erifier que les points fixes de f sont 0 et 1. Or la suite (un)n

converge vers 1. Il est donc plus pertinent de consid´erer le segment [0, 1] ici, qui lui est ferm´e !

R´eflexe ®

´ Etudier les variations de f et le signe de f(x) − x. Ceci permet de dire tr`es rapidement si la suite (un)n

est monotone.

Pla¸cons-nous dans la situation o`u u0 2 I et I est un intervalle ferm´e v´erifiant : I  Df ; f(I)  I.

Que dire si f est croissante sur I ? On en conclut imm´ediatement que (un)n est monotone.

En effet :

• si u0  u1, alors (un)n est croissante ;

• si u0  u1, alors (un)n est d´ecroissante.

Que dire si le signe de f(x) − x est constant sur I ? On en conclut imm´ediatement que (un)n est

monotone.

En effet :

• si 8x 2 I, f(x) − x  0, alors (un)n est croissante ;

• si 8x 2 I, f(x) − x  0, alors (un)n est d´ecroissante.

R´eflexe ¯

Appliquer l’in´egalit´e des accroissements finis. Pla¸cons-nous dans la situation o`u I est un intervalle ferm´e,

invariant par f et ayant au moins un point fixe ` par f.

Si grˆace `a l’I.A.F., on montre que sur l’intervalle ferm´e I, il existe  2 [0, 1[ tel que

8(x, y) 2 I2, |f(x) − f(y)|   |x − y|, (1)

alors on a imm´ediatement que :

8n 2 N, |un+1 − `|   |un − `|.

On en conclut que

8n 2 N, |un − `|  n |u0 − `|.

La suite (un)n converge alors vers ` et la vitesse de convergence de (un)n vers ` est lin´eaire.

Remarque :

1. Le th´eor`eme du point fixe affirme que si I est un intervalle ferm´e invariant par f et s’il existe  2 [0, 1[

tel que (1) soit v´erifi´e, alors f poss`ede un unique point fixe dans I.

2. Ce th´eor`eme ´etant hors-programme, nous ´etablirons l’existence d’un point fixe dans I par d’autres moyens.

Remarquons que l’unicit´e

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