Mathématiques devoir 1 bts cgo 2eme annee

Problème 1

PARTIE A

1) Une suite géométrique est de la forme u_(n+1 )=b×u_(n ) ou u_(n )=b^n u_0

Donc la suite u_(n )est de la forme u_(n )=〖1.157〗^n u_(0 )

2) La suite u_(n ) est une suite géométrique de premier terme u_(0 )strictement positif.

La somme des dix premiers termes de la suite u_(n ) est de la forme :

S=u_(0 )×(1-〖1.157〗^10)/(1-1.157)

S= u_(0 )×(1-4.298665)/(-0.157)

S=u_(0 )× 3.298665/0.157

S≈u_0×21.01

3) Limite de la suite u_(n ) :

La raison b est 1.157, elle est donc positive et supérieure à 1 et u_(0 )est strictement positif on a :

Or lim┬(n→+∞)⁡〖u_(n ) 〗=+∞

La suite u_(n ) tend donc vers +∞ .

PARTIE B

1) P_1=(1+15.7/100)× P_0

2) On peut considérer que les différents pris sont les termes d’une suite géométrique de raison 1.157 car pour passer d’un terme à l’autre, on multiplie par 1.157 et de premier termeP_0. On a donc une suite de la forme

P_(n )=〖1.157〗^n P_(0 )

3) 2023-2013 = 10

On doit donc calculer le terme P_10avec comme premier terme P_0=100.

P_10=〖1.157〗^10×100

P_10=4.298665×100

P_10=429.8665

Le prix d’un article en 2023 serait donc de 429.87€ si son prix initial en 2013 était de 100€.

4) D’après la calculatrice, le prix d’un article aura doublé pour tout P_0strictement positif à partir de 5 ans c’est-à-dire : 2013+ 5= 2018 le prix d’un article aura doublé son prix initial en 2018.

〖1.157〗^n P_0=2P_0

〖1.157〗^n=2

ln⁡〖(〖1.157〗^n )=ln⁡〖(2)〗 〗

n ln⁡〖(1.157)=ln⁡〖(2)〗 〗

n=ln⁡〖(2)〗/ln⁡〖(1.157)〗

n≈4.75312

A partir de la 5ème année le prix aura doublé donc en 2018.

Problème 2

1)

P_(E_n ) (E_(n+1) )=0.9

P_(E ̅_n ) (E_(n+1) )=0.4

Selon l’énoncé , l’année 0 correspond à 2013, comme il y a eu un don en 2012. Donc P_(0 )=0.9 .

2)

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