Suites numériques : généralités

Suites numériques : généralités

I. Notion de suite :

1) Définitions : 

_ la suite numérique (un) est une famille de réels indexés par les entiers naturels.

_ un est le terme général de la suite (un)

2) Vocabulaire :

_ up est le terme de rang p (ex : u5 est le terme de rang 5 … etc )

_ le 1er terme de la suite (souvent u0 ou u1) est appelé terme initial

_ un–1 est le terme qui précède un        et        un+1 est le terme qui suit un

3) Suite définie explicitement :        un = f (n) où f est une fonction.

Exercice 1 :         la suite (un) définie pour n  0 par un =  

Calculer les 5 premiers termes de la suite

Avantage :         calcul rapide de n’importe quel terme.

4) Suite définie par récurrence :        un+1 est donné en fonction de un et le 1er terme est connu

La relation reliant un+1 à un est appelée relation de récurrence 

Exercice 2 :         les suites (un) et (vn)  définies pour n  0 par         et         .

Calculer les 5 premiers termes des suites

Avantage :        lien entre 2 termes consécutifs (fréquent dans la modélisation d’un problème concret)

Inconvénient :        pour calculer un terme on doit calculer tous les termes précédents.

II. Suites arithmétiques / Suites géométriques :

1) Suites arithmétiques :

Définition :        Soit r un réel non-nul.

une suite est arithmétique de raison r si chaque terme se déduit du précédent en ajoutant r 

pour tout n :        un+1 = un + r 

Remarque :        pour démontrer que (un) est une S-A, il suffit de montrer que un+1 – un est constant.

Exercice 3 :        la suite (un) définie par un = 5n + 3 est-elle arithmétique ?

Relations entre les termes :

_ pour tout naturel n :        un  = u0 + nr        si u0 est le 1er terme

_ pour tous naturels n et p :        un = up + (n – p)r

Remarque :        si le 1er terme est u1, alors pour tout n  1 : un  = u1 + (n – 1)r

Exercice 4 :        soit la suite définie par u0 = 6 et un+1 = un +   , pour tout n  0.

Exprimer le terme général un en fonction de n et calculer u250.

Somme de termes consécutifs :

♦ cas général :        S = (nombre de termes)  )

♦ u0 + u1 + … + un = (n + 1))

♦ 1 + 2 + … + n =         

la dernière formule fut devinée par Gauss à l’âge de 8 ans

Exercice 5 :        Calculer S = 1 + 3 + 5 + … + 999        et        T = 2 + 4 + 6 + … + 1000.

2) Suites géométriques :

Définition :        Soit q un réel non-nul.

une suite est géométrique de raison q si chaque terme se déduit du précédent en multipliant par q.

pour tout n :        un+1 = q  un   

Remarque :        pour démontrer que (un) est une S-G, il suffit de montrer que  est constant.

Exercice 6 :        Montrer que (un) définie par un = 3n+2;752n+1)) est une S-G.

Relations entre les termes :

_ pour tout naturel n :        un  = u0  q n        si u0 est le 1er terme

_ pour tous naturels n et p :        un = up  q n – p 

Remarque : si le premier terme est u1, alors pour tout n  1 : un  = u1qn – 1

Exercice 7 :        Soit la suite définie par u0 = 5 et  un+1 =  un ,  pour tout n  0.

Exprimer le terme général un en fonction de n et calculer u16.

Somme de termes consécutifs :

♦ cas général :        S = (1er terme)         pour q  1

♦ u0 + u1 + … + un = u0          pour q  1

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