Suites numériques
Étude de cas : Suites numériques. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Emmanuel Lecomte • 17 Octobre 2019 • Étude de cas • 534 Mots (3 Pages) • 543 Vues
Suites numériques (2)
Exercice 1 : Suites numériques croisées (hors programme Bac)
Soient () et () deux suites telles que et et pour tout entier naturel n :[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
et [pic 5][pic 6]
- Démontrer que () et () sont deux suites strictement positives.[pic 7][pic 8]
- Démontrer que, pour tout entier naturel n, .[pic 9]
- En déduire le signe de , pour .[pic 10][pic 11]
- Démontrer que les suites () et () sont décroissantes à partir du rang 1.[pic 12][pic 13]
- Démontrer que les suites () et () convergent vers une même limite puis déterminer cette limite.[pic 14][pic 15]
Exercice 2 : Bac S 2017 – Amérique du Sud
Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à 12 000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.
Partie A : un premier modèle
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite () où représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016 + n. [pic 16][pic 17]
On a donc .[pic 18]
- Déterminer la nature de la suite () et donner l’expression de en fonction de n. [pic 19][pic 20]
- Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Partie B : Un second modèle
Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite () définie par et, pour tout entier naturel n,[pic 21][pic 22]
[pic 23]
- On considère la fonction g définie sur ℝ par
[pic 24]
- Justifier que g est croissante sur [0 ; 60].
- Résoudre dans ℝ l’équation .[pic 25]
- On remarquera que .[pic 26]
- Calculer la valeur arrondie à 10−3 de . Interpréter. [pic 27]
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .[pic 28]
- Démontrer que la suite () est croissante.[pic 29]
- En déduire la convergence de la suite ().[pic 30]
- On admet que la limite ℓ de la suite () vérifie g(ℓ) = ℓ.[pic 31]
En déduire sa valeur et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
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