Suites numériques

Suites numériques

Terminale S

Variations

✧ Si pour tout n, un+1 − un > 0 ou

un+1

un

> 1, alors la

suite (un) est strictement croissante

✧ Si pour tout n, un+1 − un < 0 ou

un+1

un

< 1, alors la

suite (un) est strictement décroissante

Définition

Une suite (un) peut-être définie :

✧ de manière explicite : un = f(n)

✧ de manière récurrente : (

u0

un+1 = f(un)

Suites géométriques

Récurrence : un+1 = q × un (de raison q)

Explicite : un = u0 × q

n ou un = up × q

(n−p)

Somme : premier terme ×

1 − q

nbre termes

1 − q

Sn = 1 + · · · + q

n =

1 − q

n+1

1 − q

Suites arithmétiques

Récurrence : un+1 = un + r (de raison r)

Explicite : un = u0 + nr ou un = up + (n − p)r

Somme : nbre termes ×

premier terme + dernier terme

2

Sn = u0 + · · · + un = (n + 1) ×

u0 + un

2

Raisonnement par récurrence

But : montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n0

✧ Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang n0

✧ Hérédité : on montre que si la propriété est vraie au rang n, alors elle est encore vraie au rang n + 1

Conclusion : la propriété est vraie pour tout n ≥ n0

Limite finie (convergence)

n

un

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b

b b b b b b b ℓ

lim n→+∞

...