Suites numériques

Suites numériques (2)

Exercice 1 : Suites numériques croisées (hors programme Bac)

Soient () et () deux suites telles que   et  et pour tout entier naturel n :[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

  et [pic 5][pic 6]

1. Démontrer  que () et () sont deux suites strictement positives.[pic 7][pic 8]
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, .[pic 9]
3. En déduire le signe de , pour .[pic 10][pic 11]
4. Démontrer  que les suites () et () sont décroissantes à partir du rang 1.[pic 12][pic 13]
5. Démontrer  que les suites () et () convergent vers une même limite puis déterminer cette limite.[pic 14][pic 15]

Exercice 2 : Bac S 2017 – Amérique du Sud

Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve. Cette population est estimée à 12 000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an. L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite ()  où   représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016 + n. [pic 16][pic 17]

On a donc .[pic 18]

1. Déterminer la nature de la suite ()  et donner l’expression de   en fonction de n. [pic 19][pic 20]
2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?

Partie B : Un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite () définie par  et, pour tout entier naturel n,[pic 21][pic 22]

[pic 23]

1. On considère la fonction g définie sur ℝ par

[pic 24]

1. Justifier que g est croissante sur [0 ; 60].
2. Résoudre dans ℝ l’équation .[pic 25]

1. On remarquera que .[pic 26]

1. Calculer la valeur arrondie à 10−3 de . Interpréter. [pic 27]
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .[pic 28]
3. Démontrer que la suite () est croissante.[pic 29]
4. En déduire la convergence de la suite ().[pic 30]
5. On admet que la limite ℓ de la suite () vérifie g(ℓ) = ℓ.[pic 31]

En déduire sa valeur et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.

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