Suites arithmétiques et géometriques

I Suites arithmétiques: 

1° Définition:  

On appelle suite arithmétique, une suite réelle telle que tout terme sauf le premier , soit  obtenu en ajoutant au précédent un même réel appelé raison de la suite.  

ex: u0=2 et pour tout n de N un+1= n u +3: On définit une suite arithmétique de raison 3.  2° Progression arithmétique:  

Des réels sont dits en progression arithmétique ssi ce sont des termes consécutifs d'une  suite arithmétique.  

ex: 2,5,8, 11 sont en progression arithmétique.  

b

a c

th: a,b et c sont en progression arithmétique ssi 2 

 .  

Démonstration: si a,b et c sont en progression arithmétique, il existe r tel que b=a+r et c=b+r.  Donc a+c=a+a+2r=2(a+r)=2b. On a donc le résultat.  

Réciproquement, si l'on suppose que 2b=a+c, on peut écrire b-a=c-b. Si l'on appelle r cette  différence, on a donc b=a+r et c=b+r.  

3° Calcul du terme général:  

 th: Si u est une suite arithmétique définie sur N de premier terme u0 et de raison r, le  terme général de la suite est n u =u0+nr.  

On écrit successivement :  

u u r

 

1 0

u u r

 

2 1

u u r

 

3 2

..........

u u r

n  n 

1

Par addition membre à membre et simplification, on a le résultat.  

Rq: Si le premier terme est u1, alors n u =u1+(n-1)r.  

Rq: la suite est croissante ssi la raison est positive, décroissante ssi la raison est négative.  4° Calcul de la somme des premiers termes:

la somme   n 

somme   n 

th: Si u est une suite arithmétique définie sur N de premier terme u0 et de raison r, alors     

( 1)

n

n

u  i u u

0 2 i

0



Démonstration:  

Soit:  

S u u u u      

0 1

....... ........ k n

S u u u u

    

..... ...... .

n n n k

 

1 0

Or, pour tout k entre 0 et n, on a uk +u n-k=u0 +kr+ u0+(n-k)r =u0+u0+nr= u0 +un .  Donc par addition membre à membre, on trouve n+1 fois la même somme.  Donc 2S=(n+1)(u0+un) En divisant par 2, on a le résultat.  

RQ:: Si u est une suite arithmétique définie sur N* de premier terme u1 et de raison r, alors la  n u   

n

i u u

i

1 2 

1

n(n 1)

Retenir: 1+2+3+4+...+n=2 

ex: Calculer la somme des 100 premiers naturels impairs.  

II Suites géométriques: 

1° Définition:  

On appelle suite géométrique, une suite réelle telle que tout terme sauf le premier , soit  obtenu en multipliant le précédent par un même réel appelé raison de la suite.  

ex: u0=2 et pour tout n de N un+1=3 n u : On définit une suite géométrique de raison 3.  2° Progression géométrique:  

Des réels sont dits en progression géométrique ssi ce sont des termes consécutifs d'une  suite géométrique.  

ex: 2, 6, 18, 54 sont en progression géométrique.  

th a,b et c non nuls sont en progression géométrique ssi b²=ac  

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