Suite numérique

1. Généralités

1. Définition

Une suite numérique est une liste de nombres réels, par exemple la liste des entiers naturels impairs rangés dans l'ordre croissant : 1, 3, 5, 7, …

On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite de nombres, numérotés généralement avec les indices 0,1,2 … tel que :

u0 = 1 (1er terme), u1 = 3 (2ème terme), u2 = 5 (3ème terme) …

On peut lui associer une fonction définie sur ℕ par u : ℕ → ℝ

                                                                                       [pic 1]

Définitions : Une suite numérique (un) est une fonction définie sur ℕ à valeurs dans ℝ telle qu'à tout entier n on associe un nombre réel noté un.

un est appelé le terme général ou le terme d’indice n de cette suite.

        Remarques : Le terme un, appelé aussi terme de rang n, n’est pas toujours le nième terme de la suite,

        cela dépend de l’indice du premier terme. un – 1 est le terme précédant  un et un + 1 est le terme suivant un.

1. Exemples de modes de générations de suites

▪ Par une formule explicite : 

Pour tout n de ℕ, on donne : [pic 2] - 3 

Les premiers termes de cette suite sont donc :

Lorsqu'on génère une suite par une formule explicite, chaque terme de la suite est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents.

▪ Par une relation de récurrence :

On définit la suite (vn) par : v0 = 3 et pour tout n de ℕ, [pic 3]

Les premiers termes de cette suite sont donc :

Contrairement à une suite définie par une formule explicite, il n'est pas possible, dans l'état, de calculer par exemple v13 sans connaître v12.

On peut cependant utiliser la calculatrice pour obtenir les différents termes d’une suite.

Sur TI, on quitte le mode fonction pour le mode suite, puis on utilise la touche f (x) : on renseigne nmin (souvent nmin = 0), puis u(n) et éventuellement u(0).

Lorsqu'on génère une suite par une relation de récurrence, chaque terme de la suite s'obtient à partir d'un ou plusieurs des termes précédents.

A noter : Le mot récurrence vient du latin recurrere qui signifie "revenir en arrière".

Remarque : Il existe des suites dont on ne sait calculer les termes, ni en fonction de n, ni par une relation de récurrence, comme la suite des nombres premiers :         

    ▪ Par un algorithme : La suite (un) est définie par son premier terme et des instructions d’une boucle

      « Pour » qui permettent de calculer les termes suivants.

       Par exemple, on considère la suite (vn) de l’exemple précédent.

L’algorithme suivant permet de calculer le terme de rang N de cette suite.

La valeur de v0 est entrée dans la variable V.

Dans la boucle Pour, on calcule d’abord 4v0 - 6, c’est-à-dire v1. Puis de la même façon, on calcule v2, v3, etc…

Après N étapes dans la boucle, la variable V contient le terme vN.

2. Suites arithmétiques

2.1. Définition

Une suite (un) est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r, appelée raison, c’est-à-dire lorsque pour tout entier naturel n, un + 1 = un + r.

Une suite arithmétique est définie dès que l’on connaît son premier terme et sa raison r.

Exemples : La suite arithmétique de premier terme – 7 et de raison 5 a pour premiers termes :

La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme ….. et de raison …… 

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