Suite numérique

SUITE NUMERIQUE

I°) Rappel

1°) Définition

une suite numérique est une application de N{0,1,2} ou éventuellement sur{n0,n0+1,n0+2} . L'image de n ℮ N se note U(n) ou Un u{ N → R , n → Un

Ex : (Un) définie par Un= n/n²+1

u0= 0 u11= 11/11²+1

Ex2 : Soit la suite (Un) n≥1 définie par { u1=2, Un+1= -3Un+5

calculer les 3 termes suivant u2 u3

Je prend n=1

u1+1= -3xu1+5=-3x2+5=-1

u2+1= -3xu2+5=-3x-1+5=8

u3+1= -3xu3+5=-3x8+5=-19

2°) Sens de variation

Une suite (Un) n ℮ N est croissante si pour tout n ℮N

Un+1≥Un ou bien Un+1-Un≥0

Une suite (Un) n ℮N est strictement croissante si pour tout n ℮ N

Un+1<Un ou Un+1-Un≤0

Une suite (Un) n ℮ N est stationnaire si pour tout n ℮ N

Un+1=Un ou Un+1-Un=0

║Méthode : travailler sur Un+1-Un ex Un=-3n+5

étudier la monotomie de Un n ℮ N

pour tout n ℮ N Un+1-Un= -3(n+1)+5 -(-3n+5)=-3<0

Donc Un est strictement décroissante

3°)Suite arithmétique

Une suite est arithmétique s'il existe une constante r Appeler raison de suite

Tel que Un+1= Un+r pour tout n ℮ N ou Un+1-Un=r constante pour tout n ℮ N

ex Un=-3n+5

propriété :

si Un n℮ N est arithmétique de raison r

Un=u0+nr

Un=u1+(n-1)r

Un=Uk+ (k-n)r

Somme de terme d'une suite arithmétique

S= nrb de terme x( 1erterme+dernier terme)/2

Montrons que (Un) n≥3 est arithmétique, pour tout n℮ N Un+1-Un=3(n+1)1 – (3n+1)=3

donc la raison r est 3

Suite numérique

calculer alors S : u3+u4+.....+u26

nombre de terme 26-3+1=24

S= 24(u3+u26)/2

U26= 3x26-1=77 S=24x(-2+77)/2=900

4°) suite géométrique

Une suite Un n℮ N est géométrique s'il existe un R q tel que Un+1=qUn pour tout n℮ N

Methode : a partir de Un+1 simplifier pour faire apparaître Un.

Montrons que (Un) n℮ N definie par Un=3x2n est géométrique pour tout n℮ N est donc une suite géométrique de raison q=2

Formule : si Un n℮ N géométrique de raison q pour tout n℮ N alors

k℮ N= Un=uk x qn-k

k=1 Un =u1x qn-1

Somme de la suite géométrique

S= 1erterme x ((1-qnbr terme)/ (1-q))

ex : calculer S= 3+ 3x2 + 3x2² +....+3x2n

S= (3x(1-2n+1)/ (1-2))

II°) raisonnement par récurrence

ex : Soit la proposition Pn qui dépend de n℮ N

Pn= 1+3+...+(2n+1)= (n+1)²

Vérifions que cela est vraie pour n=0 puis pour n=1

P0= (0+1)² =1

P1 =(1+1)²=4

On peut pas affirmé pour autant que Pn est vraie pour tout n℮ N

Propriété : Soit Pn une position dependant d'un entier n℮ N et soit n0 un entier naturel fixe

a) on vérifie que P(n0) est vraie b) on suppose qu Pn est vraie pour un entier naturel n c) montrons que cela entraine P(n+1)

Alors cela montrera que Pn est vraie par récurrence pour tout n℮ N

ex : montrons par recurerence que 1+3+....+(2n+1)= (n+1)² pour tout n℮ N

a) vérifions pour n=0

b) supposons que 1+3+...+(2n+1)=(n+1)² pour un entier naturel n

c) montrons alors que l'égalité est vraie pour (n+1)

or (2(n+1)+1)=((n+1)+1)²

donc (2n+3)= (n+2)²

Partons du nombre gauche 1+3+...+(2n+1)+(2n+3)= (n+1)²+(2n+3)=n²+4n+4=(n+2)²

ex : partons pour tout n℮ N*= 1+2+3+...+(n-1)+n= n(n+1)/2

a) n=1

n=2 (2-1)+2=3= 2(2+1)/2=3

b) on admet que 1+2+...+(n-1)n= n(n+1)/2 pour un entier n

c) montrons que cela entraine 1+2+...+n+(n+1) =(n+1)(n+2)/2

or 1+2+...+n+(n+1)=n(n+1)/2+(n+1)= n(n+1)/2+2(n+1)/2= (n²+3n+2)/2

Soit q≠1

Montrons que 1+q+q²+...+qn= (1-qn+1)/ (1-q) pour tout n℮ N*

a) 1+q=(1-q2)/ (1-q)= (1-q)(1+q)/ (1-q)= 1+q

b) on admet que 1+q+...+qn= (1-qn+1)/ (1-q) pour tout n℮ N

c)((1-qn+1)/ (1-q))+qn+1= ((1-qn+1)/ (1-q)) + (qn+1)(1-q)/ (1-q))=(qn+1-qn+2)/ (1-q)/ (1-q)= (1-qn+2/ (1-q)

EXO

Un+1=√(4+Un)

u1=5

Montrons par récurrence ( Un) est décroissante

a) montrons que : Un+1-Un≤0 pour tout n℮ N* Un+1≤Un

1methode : Un+1-Un≤0 pour tout n℮ N

on

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