Rappels sur les suites arithmétiques, géométriques et comparaison des deux.

Philippe a écrit à de nombreuses sociétés pour trouver du travail. Deux entreprises lui ont répondu pour un travail à peu près équivalent. Voici les conditions d’embauche dans chacune de ces deux sociétés pour un contrat à durée indéterminée dans chacun des cas.

Philippe pourrait rester dix ans dans l’entreprise et si les conditions lui plaisent, vingt ans…Pourriez-vous l’aider à faire le bon choix?

[pic 1]

• Suite arithmétique.

• Définition:
    et   désignent deux réels.
  On dira que la suite  est une suite arithmétique
  de premier terme  et de raison r   si
  pour tout entier  ,  .[pic 8][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
• Vocabulaire:
  Le nombre  est le premier terme de la suite.
  Le nombre  est la raison de la suite.[pic 11][pic 9][pic 10]
• Sens de variation d'une suite arithmétique:

• si la raison r est positive, la suite est croissante;
• si la raison r est nulle, la suite est constante;
• si la raison r est négative, la suite est décroissante.

• Remarque 1:  Si une suite est arithmétique, on calcule le terme suivant
  en ajoutant  la raison.
• Remarque 2: On vérifie qu'une suite est arithmétique en s'assurant que
  la différence entre un terme et le terme qui précède est toujours constante.
• Remarque 3: Une suite est croissante si les valeurs des termes vont en augmentant.
  Une suite est décroissante si les valeurs des termes vont en diminuant.

• Algorithmique: Calcul du terme de rang  
  d'une suite arithmétique de premier terme  et de raison : [pic 15][pic 16][pic 12][pic 13][pic 14]

Variables: 
A  et R sont deux réels (le premier terme et la raison de la suite)
N est un entier  (le rang du terme à calculer)
I est un entier (le compteur)[pic 17]

Initialisation:

A  prend la valeur  
R  prend la valeur  
Saisir la valeur de N
[pic 18][pic 19]

Traitement:
Boucle pour I allant de 1 à N
A prend la valeur A+R
Fin de boucle pour

Sortie:
Afficher A

• Suite géométrique. [pic 20][pic 21]

• Définition:
   et  désignent deux réels ,  étant strictement positif.
  On dira que la suite  est une suite géométrique
  de premier terme  et de raison   si
  pour tout entier ,   .[pic 30][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]
• Vocabulaire:
  Le nombre  est le premier terme de la suite.
  Le nombre q est la raison de la suite.[pic 31]
• Sens de variation d'une suite géométrique:

• si   , la suite est croissante;[pic 32]
• si  , la suite est constante;[pic 33]
• si   , la suite est décroissante.[pic 34]

• Remarque 1:  si une suite est géométrique, on calcule le terme suivant
  en multipliant par la raison.
• Remarque 2:  pour vérifier qu'une suite est géométrique, on doit
  s'assurer que la division d'un terme par le terme qui précède est  toujours constante.
• Remarque 3:  

• Ecrire un algorithme qui calcule le terme de rang n d'une suite géométrique.

Partie A

Pour acheter un ordinateur d'une valeur de 900€ , Pierre a versé la somme de 300€ immédiatement en magasin puis a mis en place un prélèvement automatique mensuel de    pour les douze mois suivants, désignant un nombre constant .
On note , puis ,  , ... ,  les sommes qui auront été versées après un mois, deux mois, etc.
1. Justifier que la suite  est une suite arithmétique.
2. Exprimer en fonction de du nombre  les réels , ,   et .
3. En déduire la valeur du nombre .[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Partie B

Un élevage de vaches laitière produisait en 2010,  une quantité   de 90 000 litres de lait.
les année suivantes sa production a baissé de 2% chaque année.
1. Calculer les quantités  , , ...,  de lait produit respectivement  par l'élevage les  années 2011, 2012,...2015. [pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

2. Quelle est la nature de la suite  ? En préciser le premier terme et la raison.[pic 52]

3. Comment pourrait-on calculer la production de l'année 2016  si la diminution se poursuit avec le même taux  sans avoir calculer les valeurs intermédiaires?

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