Maths td

Exercice 1. — Dans chacun des cas suivants, montrer que F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel usuel : o1′o2

1)F=􏰂f∈C(R,R)|f =f􏰃; 2o) F = {P ∈ R[X]|P(1) = P′(0)}; 3o) F=􏰂(x,y)∈R2|2x−3y=0􏰃;

4)F={(x+y,x−y)∈R􏰆;x∈R,y∈R}; 5o) F = 􏰇f ∈ C0([0,1],R)| 01 f(t)dt = f(0)􏰈; 6o) F={M∈Mn(K)|M=tM}avecn∈N∗.

Exercice 2. — Soit E un espace vectoriel et soient F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 3. — Les ensembles suivants constituent-ils des sous-espaces vectoriels d’un espace usuel ?

1o) E={(x,y,z,t)∈R4|x−2y+3z=0}; 2o) F =􏰂(x,y)∈R2|x−y=1􏰃;

3o) F =􏰂(x,y)∈R2|x−3xy=0􏰃;

4o) E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 􏰉 4} ; 5o) E={(a,b,a+b)∈R3;a∈R, b∈R}; 6o) E={(x,y,z,t)∈R4|x=zety=2t}; 7o) E={(a,b,c)∈R3|ab=0};

9o) E={(x+y,z+2t,x+z+t);(x,y,z,t)∈R4}; 10o) E={(a,b,1);a∈R, b∈R};

11o) E={(a,b,c)∈R3|a+b−c+1=0};

12o) E = {P ∈ R[X] | P (0) × P (2) = 0} ;

13o) E={P ∈R[X]|deg(P)􏰊2};

14o) E={P∈R[X]|deg(P)􏰊2}∪{0R[X]}; 15o) E={matricesdiagonalesdetaille3×3}; 16o) E = {M ∈ M2(R) | m1,1 = m2,2 = 0}.

8o) E = {(x, y, z) ∈ R3 | x 􏰉 y 􏰉 z} ;

Exercice 4. — Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de F (R, R) ?

1o) l’ensemble des fonctions continues ;

2o) l’ensemble des fonctions croissantes ;

3o) l’ensemble des fonctions qui s’annulent en 1 ; 4o) l’ensemble des fonctions positives ;

5o) l’ensemble des fonctions qui convergent en +∞ ; 6o) l’ensemble des fonctions impaires ;

7o) l’ensemble des fonctions T -périodiques (où T > 0) ; 8o) l’ensemble des fonctions périodiques (difficile !).

Exercice 5. — Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de RN ?

1o) l’ensemble des suites convergentes ; 4o) l’ensemble des suites arithmétiques ;

2o) l’ensemble des suites stationnaires (c’est-à-dire constantes à partir d’une certain rang);

Feuille d’exercices no 13 — Espaces vectoriels I

5o) l’ensemble des suites géométriques;

3o) l’ensemble des suites divergentes; 6o) l’ensemble des suites arithmético-géométriques;

Exercice 6. — Dans l’espace vectoriel R2, on considère les vecteurs u = (2, 1), v = (0, 1) et w = (0, −2). A-t-on w ∈ Vect (u, v) ? v ∈ Vect (u, w) ? u ∈ Vect (v, w) ?

Exercice 7. —

1o) a) Montrer que la famille ((1, −1), (2, 1)) est une base de R2 . b)

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