Langage des ensembles

I – Ensemble, Appartenance et Inclusion

        1/ Définition d'un Ensemble

On définit un ensemble en donnant tous ces éléments.

Exemple :

A={a,b,c,d}

Cas particuliers :

* ø → Ensemble vide

*[pic 1] → Ensemble des entiers naturels

*[pic 2]   → Ensembles des relatifs

*[pic 3] → Ensembles des réels

        2/ Appartenance et Inclusion

* Un élément appartenant à un ensemble :

x  A ; y  A

* Un ensemble appartenant à un ensemble :

A  B ; A  C

Remarque :

A   B  ∀ x  A  x  B

Donc[pic 4]   [pic 5]   [pic 6]

        3/ Les partie d'un ensemble (ou sous ensembles)

Soit A={1;2;3}

Les parties de A sont P(A)={ø;{1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};A}

Propriété :

* ø  P(A)

* A  P(A)

Définition :

On appelle cardinal de A (noté Card A) le nombre d'élément de A.

Ici         Card A = 3

        Card P(A) = 8 = 2 Card A

II – Opération sur les ensembles

        1/ Intersection 

Soient        A E et B  E                                      A                         B

Définition :                                                                         E

x  A  B  ∀ x  A , x  A ^ x  B

Remarque :

A  E = A                B  A = A  B

A  A = A                A  ø = ø

Remarque :

A  B  A

        2/ Union 

    A                             B     E

Définition :

x  A  B  ∀ x  A , x  A v x  B

Remarque :

A  E = E                B  A = A  B

A  A = A                A  ø = A

                                                                                      _

        3/ Complémentaire de A dans E : CE  A   A

             A

                                            E

Remarque :

A  A = E                A = A

A  A = ø

        4/ Propriétés

Propriété :

A  (B  A) = A

A  (B  A) = A

Remarque :

A  (A  B) = (A  A)  (A  B)

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