En quoi les probabilités prouvent-elles que l'on ne peut pas se fier au hasard?

En quoi les probabilités prouvent-elles que l’on ne peut pas se fier au hasard ?

Introduction :

Bonjour, tout le monde a déjà connu au moins une situation de hasard où l’on compte sur la chance pour s’en sortir. Par exemple, on réalise un contrôle pour lequel on a totalement oublier de réviser. Je vais me baser sur les probabilités qui sont un outil mathématique très utilisé aujourd’hui afin de répondre à cette question qui m’est venue : est-il raisonnable de se fier au hasard ? Pour répondre à celle-ci, je vais m’appuyer sur un exemple, un QCM. Dans un premier temps, je décrirai l’expérience réalisée ainsi que son but, puis dans une seconde partie, je définirai ce que sont les épreuves et schémas de Bernoulli ainsi que la loi binômiale et enfin, je donnerai les résultats de l’expérience.

I – L’expérience : le QCM

Je vais avec un QCM composé de 10 questions. Chaque question contient 4 possibilités de réponse mais une seule correcte. Malgré le fait qu’il y ait quatre possibilités de réponse, il n’y a que deux issues possibles, que l’on appelle aussi événement. Lorsque la réponse est juste, on considère cet événement comme un succès. Lorsqu’elle est fausse, on considère cet autre événement comme un échec. Le but de cet expérience est de calculer le pourcentage de chance d’obtenir une note correcte en répondant de manière totalement aléatoire à ce QCM.

II – Définitions : loi binômiale, épreuve et schéma de Bernoulli

On peut considérer ce QCM comme une répétition d’épreuves à deux issues, succès ou échec, que l’on appelle épreuves de Bernoulli. Cette répétition s’apparente à un schéma de Bernoulli, qui est succession d’épreuves de Bernoulli, de manière identique et indépendante. J’ai représenté ce schéma par un arbre pondéré entouré en jaune sur l’annexe. Celui-ci nous montre qu’il y a 2^10, soit 1024 chemins possibles différents au total et donc 1024 schémas de réponse possibles. On sait que chaque question a deux issues : si elle est juste, c’est un succès, et si elle est fausse, c’est un échec. Cela nous permet d’appliquer la loi binomiale aussi appelée loi du nombre de succès. Elle est de paramètres n correspondant à la taille de l’échantillon choisi et p correspondant à la probabilité d’obtenir un succès. La loi binômiale permet de modéliser la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires, identiques et indépendantes. Celle-ci se note :

P(X=k) = (k parmis n) x pk x (1-p)n-k

comme inscrite et surlignée en gris sur l’annexe. On note X une variable aléatoire, qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de réponses justes. On écrit la loi binomiale comme représentée sur l’annexe et surlignée en bleu. Cela se lit X est la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètes n et p. Ici, n correspond au nombre de questions soit 10 et p à la probabilité du succès soit car les quatre propositions sont équiprobables.

III – Résultats de l’expérience

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