Analyse complexe
TD : Analyse complexe. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar tom95160 • 1 Novembre 2015 • TD • 1 177 Mots (5 Pages) • 1 039 Vues
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Analyse complexe Devoir maison-Maths 09/12/2013 Thomas Thuly |
Table des matières
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Exercice 1
- Soit la fonction f définie dans ℂ par : Ou désigne le nombre complexe conjugué de z. Peut-on trouver un disque ouvert de C dans lequel f soit holomorphe ?[pic 2][pic 3]
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On pose [pic 5]
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On a: [pic 9][pic 10]
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La deuxième condition de Cauchy est bien respectée :
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Donc la fonction n’est pas holomorphe sur ℂ.
Soit la fonction de la variable complexe z définie dans son domaine de définition par
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Quel est le domaine de définition D de f ? La fonction est-elle holomorphe dans D ?
Le domaine de définition de f est le domaine dans lequel on a : [pic 18]
C’est-à-dire ou le quotient est défini.[pic 19]
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On obtient deux solutions :
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D = ℂ - {} avec [pic 28][pic 29]
- Résoudre dans C les équations cos(z) = 0, sin(z) = 0, ch(z) = 0, sh(z) = 0
:[pic 30]
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Pour :[pic 40]
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- Quels sont les domaines dans lesquels les fonctions suivantes sont holomorphe. , , , [pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]
Pour :[pic 72]
Le domaine de définition de cette fonction est : ℂ - {} avec [pic 73][pic 74]
On sait aussi que [pic 75]
Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ cos(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 76][pic 77]
Pour :[pic 78]
Le domaine de définition de cette fonction est ℂ - {} , avec.[pic 79][pic 80]
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