Chap 7 Dérivation (partie 2)

Chap 7 Dérivation (partie 2) I – Rappel

Définition : Dire que f est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers 0, (

II – Fonctions dérivées

1) Fonction dérivée

1ère spé

) ( ) tend vers un nombre

()()

réel L. On écrit

Ce nombre L est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f ’(a).

Définition : Si f est dérivable en tout point a de I, on dit que f est dérivable sur I.

La fonction qui, à chaque x de I, fait correspondre le nombre dérivé de f en x est alors appelée fonction dérivée de f et est notée : f ' : x ↦f '(x)

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 – x + 2. Démontrer que f est dérivable sur R et déterminer sa fonction dérivée.

Pour tout a réel,

()()()()()

lim ( ) ( ) = lim h + 2a − 1 = 2a – 1 pour tout a réel.

h0 h0

On peut donc en conclure que f est dérivable sur R et f’ (x) = 2x – 1.

2) Dérivées de fonctions usuelles

a, b et c sont des réels et n un entier relatif.

La fonction ... Constante Linéaire Affine Carré Puissance

Inverse Racine carrée

Fonction f

f (x) = b

f (x) = ax

f (x) = ax + b f (x) = x2

Définie sur

R R R R

*

f(x) = x [0 ; +∞[ ]0 ; +∞[ f ’ (x) = 1 2x

Dérivable sur

R R R R

Fonction f '

f ’ (x) = 0 f ’ (x) = a f ’ (x) = a f ’ (x) = 2x

f (x) = xn f (x) = 1

0

f ’ (x) = nxn-1 f ’ (x) = - 1

0

x R R x2

R si n

R* si n < 0

R si n

R* si n < 0

*

Dém : (à connaître)

 Dérivée de la fonction carré :

Soit f(x) = x2.

Le taux de variation de f entre a et a+h (h ≠ 0) est :

()()() ()()

. a étant un réel quelconque, on en déduit que f ’(a) = 2a pour tout a.

D’où

Donc, pour tout réel x, f ’(x) = 2x

 Dérivée de la fonction inverse :

Soit f(x) = pour x ≠ 0.

Le taux de variation de f entre a et a+h (a ≠ 0 et h ≠ 0)est :

()()

D’où ()()

()

() ()

()

() ()

a étant un réel non nul, on en déduit que f ’(a) = Donc, pour tout réel x non nul, f ’(x) = .

.

.

 Non dérivabilité en 0 de la fonction racine carrée : Soit f(x) = √ pour x ∈ [0 ; +∞[.

Le taux de variation de f entre 0 et h (0 + h) (h ≠ 0) est :

( ) (

)√ √√. √

Soit f(x) = x8.

f est dérivable sur R et f ’(x) = 8x7.

Soit f(x) = = x-5.

f est dérivable sur R* et f ’(x) = -5x-6.

Or ( ) ( )

√

n’est pas un réel.

Donc la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative

de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0.

Exemples :

 Soit f(x) = -5.  f est dérivable sur R et f ’(x) = 0.

 Soit f(x) = = .  f est dérivable sur R et f ’(x) = .

 Soit f(x) = 2x + 3.

f est dérivable sur R et f ’(x) = 2.

 Soit f(x) = x2.

f est dérivable sur R et f ’(x) = 2x.

 Soit f est

 Soit f est

f(x) = .

dérivable sur R* et f ’(x) = - .

f(x) = √ .

dérivable sur ]0 ;+∞[ et f ’(x) = √

3) Dérivées et opérations

u et v sont des fonctions dérivables, k est un réel et n un entier relatif.

Opération Somme

Produit par un réel Inverse

avec v(x) ≠ 0 Quotient

avec v(x) ≠ 0 Produit

Puissance

Racine avec u(x) > 0

Dém de la dérivée de uv : (à connaître) On veut démontrer que : ( )( )

Fonction

...