Mathématiques : Expression générale d’une suite

Mathématiques : Expression générale d’une suite

• Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n par :

[pic 1]

Uo=1

Un+1=Un+2n+3

Démontrez par récurrence que Un=(n+1)²

Pn : « Un=(n+1)² pour tout entier nЄN »

Initialisation : U0=(0+1)²=1 La propriété est vraie pour n=0

Hérédité : Hypothèse de récurrence

Supposons qu’il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :

Uk=(k+1)²

A démontrer :

La formule est vraie au rang k+1

Uk+1=(k+2)²

Uk+1= Uk+2k+3

=(k+1)² +2k+3

=K²+2K+3

=K²+4K+4

=(k+2)                                            CQFD

Conclusion : La formule est vraie pour n=0 et héréditaire à partir de xe rang. Elle est donc vraie pour tout entier n.

L’inégalité de Bernoulli :

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :

(1+a)n ≥ 1+na avec a>0

Initialisation : démontrer que la propriété est vraie pour n=0

(1+a) 0=1≥1+0xa

Hérédité : Hypothèse de récurrence :

Supposons qu’il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :

(1+a)k ≥ 1+ka

 A démontrer :

La propriété est vraie au rang k+1 :

(1+a)k+1a

(1+a)k+1= (1+a)k (1+a)

≥(1+ka) (1+a)

≥ 1+a+ka+ka²

≥1+(1+K)a+ka²

(1+a)k+1≥1+(1+K)a

Conclusion : La propriété est vraie pour n=0 et héréditaire à partir de ce rang, donc elle est vraie pour un entier naturel n.

Anglais : Used to + bv

•Used to+ bv :

+  Dennis stopper smoking 2 years ago

Dennis used to smoke 2 years ago

• John didn’t use to like chocolate when he was young. Now he loves it.

? Dis you use to rat sweets when you were young ?                                            

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