Les raccordements circulaires

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1. Généralités

Les raccordements circulaires se trouvent principalement dans les projets routiers mais également dans les bâtiments courants, pour l’implantation des voiles courbes par exemple ; les exemples choisis sont toutefois issus essentiellement issus des raccordements routiers.

Les raccordements circulaires consistent en fait à relier deux droites se coupant en un point par un ou plusieurs arcs de cercles qui coupent les deux droites respectivement en des points appelés points de tangence.

Une courbe circulaire permet de raccorder deux alignements droits dans un plan horizontal. En effet ce raccordement facilite à l’automobiliste et à l’usager de quitter le premier alignement droit pour le second sans difficultés.

On observe plusieurs types de courbes circulaires dans le raccordement circulaire à savoir :

• Courbes circulaires simple
• Courbes circulaires composées
• Courbes circulaires renversée

1. Courbes circulaires simples

A. Définition[pic 2]

Une courbe circulaire est dite simple lorsqu’elle possède un rayon et est tangent aux deux alignements droits.

B. Nomenclature

 Point d’intersections de deux alignements droits. Il est le sommet du raccordement.[pic 3]

  Le point de raccordement de la tangente de l’arc de cercle. C’est un point de tangence (Tangente-Courbe).[pic 4]

 Le point de raccordement de l’arc de cercle et de la tangente. C’est un point de tangence (Courbe-Tangente).[pic 5]

 Rayon de l’arc de cercle[pic 6]

 Longueur de l’arc de cercle ou de développement de l’arc de cercle.[pic 7]

 Longueur d’un arc intermédiaire.[pic 8]

Flèche principale et flèche intermédiaire[pic 9]

 Contre flèche.[pic 10]

 Longueur de la tangente. [pic 11]

 Corde principale reliant TC et CT.[pic 12]

 Corde intermédiaire[pic 13]

D= L’angle de déflexion entre les alignements

 Centre de courbure de l’arc de cercle.[pic 14]

1. Caractéristiques

Les données sont D et R ;

Soit  et [pic 15][pic 16]

1. Tangente 

En considérant le triangle  rectangle en TC on a :[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

1. Longueur de développement

Le développement d’un cercle est donné par l’expression : [pic 21][pic 20]

 Or ;  et ainsi le développement d’un arc de cercle est obtenu par la formule :[pic 22][pic 23]

1. Corde principale

En observant le schéma  Or en considérant le triangle isocèle  de sommet principale O, la perpendiculaire issue du sommet principal est la médiane du triangle issue du sommet O. [pic 24][pic 25]

Ainsi  est le milieu du segment [TC, CT] et alors .[pic 26][pic 27]

En considérant le triangle (TC O’ O) rectangle en  alors on a :[pic 28]

. D’où :[pic 29]

[pic 30]

1. Flèche

Dans le schéma  Or en considérant le triangle  rectangle en  on a : . D’où après transformation on a :[pic 35][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

1. Contre-flèche

En observant le schéma . [pic 36]

En considérant le triangle  rectangle en TC, on a : [pic 37]

. D’où après transformation on a :[pic 38]

                        [pic 39]

1. Corde intermédiaire

Si nous désignons par le point P, l’intersection de la corde intermédiaire et de l’arc de cercle. Or en considérant le triangle isocèle  de sommet principal O, on a la perpendiculaire au segment [TC ; P] issue de O passe par le milieu  du segment et est à la fois hauteur et bissectrice. Alors . [pic 40][pic 41][pic 42]

En considérant le triangle  rectangle en  on a :[pic 43][pic 44]

. Donc on a :. Or, d étant l’angle de déviation entre la tangente et la corde intermédiaire alors il est égal à la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc que lui. [pic 45][pic 46]

Ainsi 2dd ; d’où :[pic 47]

[pic 48]

1. Angle de déviation

La longueur de l’arc intercepté par 2d est l.[pic 49]

Donc  d’où [pic 52][pic 50][pic 51]

1. Chainage des points caractéristiques

Généralement le point  est connu donc  est donné et ainsi on a :[pic 53][pic 54]

        [pic 55]

1. Cas d’un raccordement avec PI inaccessible [pic 56]

Il existe des cas où le point PI est inaccessible et donc il n’y aucun moyen de le construire, en raison de la présence d’obstacle par exemple.

Pour y remédier on peut procéder de la façon suivante :

• Placer deux point A et B respectivement sur les alignement [TC,PI] et [PI,CT] de façon à ce que le segment AB soit mesurable ;
• Ensuite relever les angles en A et B ;
• Cela reviendra à résoudre le triangle PI.A.B ;
• En résolvons ce triangle nous aurons les distances API et BPI ;
• Pour implanter les tangentes soit les points T et T’, nous utiliserons les relations suivantes : et  [pic 57][pic 58]

[pic 59]

Tableau 1 : Cas d’un PI inaccessible

1. Implantation d’une courbe circulaire simple

Il existe plusieurs méthodes d’implantation d’une courbe simple. Nous allons étudier :

• La méthode des coordonnées polaires encore appelée méthodes des angles de déviation ;
• La méthode par abscisse et ordonnée à la corde ;
• La méthode par abscisse et ordonnée à la tangente ;
• La méthode des cordes et flèches ou la méthode des quarts ;
• La méthode bi angulaire ou par intersection ;
• La méthode d’implantation au ruban ;
• La méthode d’implantation de proche en proche.

Soit une courbe circulaire simple de rayon R et d’angle de déflexion ∆.

Soit  un point quelconque de la courbe à implanter tel que :[pic 68]

La longueur de l’arc ;[pic 69]

La corde et [pic 70]

L’angle de déviation [pic 71]

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