Scilab cas

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Améliorer Newton 

     La méthode de Newton est une méthode de point  fixe  qui a la propriété remarquable d’etre d’ordre 2, en général. Malheureusement, pour les racines de multiplicité m>=2, la convergence n’est que linéaire.Nous allons voir trois manières de remédier cet inconvénient.

1/Newton modifié 

a/ Transformer l’algorithme ci-dessous en une fonction Newton.Sci qui aura pour entrées la fonction f, sa dérivée df, le point de départ x0,  le nombre maximal d’itérations Nmax et la tolérance  eps sur l’erreur relative. Elle aura comme inique sortie un vecteur dont les composantes sont les termes de la suite (xn)n>=0 obtenue.

L’algorithme de Newton :

1. On commence par x0 (n=0).
2. On calcule : xn+1=xn-f(xn)/f ‘(xn).
3. Si |xn+1-xn|/|xn+1|
4. Si n atteint nmax alors la méthode a divergé ou elle n’a pas pu converger avec nmax itérations et on s’arrete.
5. Sinon , on passe à l’étape 2 avec une nouvelle itération n+1

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B- Soit f(x) = (x-1)(x+1) ^2. Ce  script scilab fait appel  à la fonction

fonctionNewton.sci  et crée une figure mettant en évidence l'ordre de convergence de la méthode de Newton pour la racine r1 = 1 et une autre figure pour la racine r2 = -1.

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 Figure mettant en évidence l'ordre de convergence de la méthode de Newton pour la racine r1 = 1 est :

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Figure mettant en évidence l'ordre de convergence de la méthode de Newton pour la racine r1 = -1 est :

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c) Une nouvelle fonction scilab, appelée fonctionNewton2.sci, en modifiant le moins possible la fonction scilab fonctionNewton.sci, et qui contient l'algorithme suivant censé d’etre d'ordre au moins 2 pour les racines de multiplicité m.

xn+1 = xn – m*f(xn)/f ‘(xn)

Par rapport  à fonctionNewton.sci, cette nouvelle fonction aura m comme entrée supplémentaire, et la meme sortie.

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:

d) Un script Silab qui fait appel à la fonction fonctionNewton2.sci et qui crée une figure mettant en évidence l'ordre de convergence de la méthode de Newton modifée appliquée à la fonction f de la question b), avec m = 2 pour la racine r2 = -1. Lui faire créer une autre figure mettant en évidence l'ordre de convergence de cette méthode avec m = 2 pour la racine r1=1.

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Une figure mettant en évidence l'ordre de convergence de la méthode de Newton modifée appliquée à la fonction f de la question b), avec m = 2 pour la racine r1 = 1.

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