Étude du système de corde vibrante

Étude de Cordes

Vibrantes

On retrouve le système de corde vibrante essentiellement dans les instruments acoustiques, permettant ainsi la production d’un son.

Ce TP a pour objectif d’étudier les différentes vibrations d’une corde fixée par ses deux extrémités. Pour cela nous verrons comment les fréquences plus particulièrement la fréquence fondamentale varie en fonction des propriétés physique de la corde (longueur, tension, masse linéique), puis comment varie les célérités avec les formules expérimentales et théoriques. Et enfin nous nous assurerons de la validité de nos résultats.

Pour réaliser l’expérience, on dispose de plusieurs fils de nylon de différent diamètre de quelque micromètre. On les fixera d’un côté à un pot vibrant et de l’autre à une masse par l’intermédiaire d’une poulie. Par la suite, on excite la corde harmoniquement grâce à un générateur amplifié de signal sinusoïdal. On crée alors un déplacement perpendiculaire à la corde, celui-ci se propage le long de la corde. En contrôlant le générateur qui crée le mouvement de la corde, on pourra observer les différents modes de résonance de notre système.

Figure 1 : Schéma du système étudié (la corde est tendue et suffisamment longue pour ne pas tenir compte de la réflexion de l'onde à l'extrémité droit)

Cordes vibrantes

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Etude Théorique

1. On appelle le déplacement de la corde en fonction de l’espace et du temps. La forme générale du déplacement d’une onde transverse dans une corde est donnée par :

2. La célérité de l’onde en fonction de la tension T et de la masse linéique μ s’écrit :

√

Ici

3. La corde de longueur L est fixée à ses extrémités. On pose mathématiquement les conditions aux limites :

{

4. On en déduit les fréquences de la corde. On notera la fréquence fondamentale.

L’équation des ondes s’écrit sous la forme suivante :

Le membre de gauche de l’équation est en fonction de x, or celui de droite en fonction de t ; alors on peut définir une constante k tel que :

On résout par la méthode de séparation des variables, on pose :

On injecte (2) dans (1), on obtient alors :

On divise (3) par on obtient alors l’équation différentielle suivante :

Cordes vibrantes

3

Elle admet une solution de la forme :

On détermine les constantes A et B grâce aux conditions limites :

Or { , alors

Et

- k est le nombre d’onde

- n le nombre de ventre lors de l’oscillation de la corde

On sait aussi que , on en déduit la pulsation propre : .On a également l’égalité suivante :

On en déduit alors la fréquence : √

La fréquence fondamentale étant la plus petite, on a : √

5. On représente l’aspect des 3 premiers modes de vibration transverse :

Mode 1

Mode 2

Mode 3

Cordes vibrantes

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Etude Pratique

Dans cette partie, nous nous intéressons aux paramètres qui peuvent influencer la fréquence fondamentale et la célérité de la corde, pour cela nous allons faire varier la tension, le diamètre et enfin la longueur d’une corde.

On place en premier le fil de 0,4mm de diamètre, On règle la fréquence de départ manuellement de façon a observé un seul fuseau ample, on note alors cette fréquence comme la fréquence fondamentale de la corde.

En augmentant progressivement la valeur de la fréquence, le fuseau disparait et l’on observe ensuite 2 puis 3 fuseaux ceux qui correspondent respectivement au 2ème et 3ème mode

Le fil est de longueur L= 1 ,05m où l’on suspend une masse de 10g qu’on fera varier par la suite. Lorsque l’on distingue les 3 modes, on relève la fréquence correspondante en faisant attention que les ventres soit bien amples. Afin de s’assurer que le pot vibrant ne soit pas en buté, on prend le soin de bien régler le gain.

Mode 1

Mode 2

Mode 3

fréquence (Hz)

15,63

27,08

46,03

On remarque que la fréquence fondamentale

La fréquence du 2eme mode est environs

De même la fréquence du 3eme mode est égale à

On en déduit une relation : et comme :

L’expression de la célérité

...