Les Fonctions dérivées

graphe de cette fonction en ce point. C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point. (Ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe.) La dérivée en un point d'une fonction à plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici.

La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.

La notion de nombre dérivé a vu le jour au xviie siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

La dérivée de la fonction est notée en mathématiques ou . On utilise aussi des notations spécifiques (surtout en physique) pour désigner la dérivée par rapport au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre (). La dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. Cette notation est appelée « notation de Newton ». On utilise dans le même esprit, les notations prime et seconde pour noter la dérivée par rapport à l'espace.

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.

En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse.

On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champ complexe et on parle alors de dérivée complexe.

Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel.

Sommaire [masquer]

1 Approche intuitive

2 Approche historique

3 Définition formelle

4 Dérivabilité et lien avec la continuité

5 Fonction dérivée

6 Notations

7 Dérivées usuelles et règles de dérivation

8 Dérivation numérique

9 Dérivation graphique

10 Dérivée d'ordre n

10.1 Formule de Leibniz

11 Propriétés des fonctions dérivables

11.1 Théorème de Rolle

11.2 Théorème des accroissements finis

11.3 Théorème de Darboux

12 Dérivées de fonctions liées

13 Analyse d'une fonction dérivée

14 Dérivée et optimisation

15 Dérivée algébrique

16 Précision de la dérivée numérique

17 Notes et références

18 Voir aussi

18.1 Articles connexes

18.2 Liens externes

Approche intuitive[modifier]

En 0, la courbe est décroissante, donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point est négatif, et donc, le nombre dérivé y est négatif (il vaut -1).

En 1, la courbe est toujours décroissante, mais la pente y est moindre (-0,5).

En 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0).

En 3, la courbe est croissante, donc le nombre dérivé y est positif (0,5).

Pour approcher cette notion de manière intuitive, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction continue dans un repère cartésien, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien « lisse »; on dira là que la fonction associée est dérivable.

Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe « monte » (c'est-à-dire si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante.

Si on se donne une abscisse pour laquelle la fonction est dérivable, on appelle nombre dérivé de en le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse . Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Pour une fonction à plusieurs variables, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables.

Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.

...