Le champ électrostatique

Chapitre 1 : Le champ électrostatique

I Loi de Coulomb pour deux particules élémentaires

A) Postulat de la charge

A toute particule élémentaire, on peut associer une grandeur scalaire q :

- Invariante par changement de référentiel

- Conservative :

On a (ou, macroscopiquement : )

- Algébrique : positive ou négative (ou nulle)

B) Loi de Coulomb

1) Enoncé

On considère une charge fixe dans un référentiel R.

• Cette charge en P modifie l’espace autour d’elle et crée en M un champ où .

: permittivité du vide ; (en ) ; c’est une valeur exacte.

On a

• On considère une charge fixe ou mobile en M.

Cette charge subit alors une force

2) Discussion

• La loi reste valable en relativité

C’est une loi fondamentale de la physique.

• Si se déplace, est variable et il y a en plus un champ .

C) Principe de superposition

On admet (principe) que créé par des charges vérifie .

II Loi de Coulomb macroscopique

A) Du microscopique au macroscopique

On note (rappel : la barre désigne une valeur moyenne)

1) Champ microscopique

Les charges ont une vitesse d’agitation , et produisent donc un champ électromagnétique ,

2) Champ macroscopique

On a

On retrouve donc un champ coulombien.

On a de plus

Ainsi, les particules sont mésoscopiquement au repos.

B) Le champ électrostatique macroscopique

On a

1) Schématisation volumique

On a

- Si M est extérieur à V, l’intégrale converge.

- Sinon :

On considère que est borné ( )

Alors , où est le champ créé à l’intérieur d’une petite boule de rayon R, et par le reste de la distribution, qui converge.

On va montrer que est borné :

Donc est borné, et l’intégrale converge.

Donc E est défini aussi dans la distribution.

2) Schématisation surfacique

On a

Le champ diverge lorsque M est un point de la surface.

3) Schématisation linéique

4) Schématisation discrète

On a ,

III Potentiel électrostatique, rotationnel du champ E.

A) Potentiel électrostatique

1) Charge ponctuelle

Une charge q placée en P produit en M un champ :

Donc où .

2) Répartition volumique de charges

• Expression :

correspond à une dérivation par rapport à r et est donc indépendant de P

Ainsi,

Où

• Convergence de l’intégrale :

A l’extérieur de la distribution, on a bien convergence.

A l’intérieur, on applique la même méthode que pour le champ :

Dans une petite boule de rayon R, le potentiel créé est majoré :

Donc l’intégrale converge sur la petite boule, et aussi en dehors, donc V est défini sur la distribution.

3) Répartition surfacique de charge

• Expression du potentiel :

• V est aussi défini sur S :

, ou converge et :

• V est continu à la traversée de la répartition :

En coupe,

On a

peut être rendu aussi petit qu’on veut :

Il suffit de prendre 1 et 2 suffisamment proches l’un de l’autre.

On a de plus , ,

Et . Donc , soit

Remarque :

V n’est pas défini sur la distribution pour une distribution linéique ou discrète.

B) Circulation de E.

On a , donc

Et

C)

...